热门试卷

解析：（1）∵，∴当时，。

两式相减得，
∴                    …………………………2分

∵，∴，
又，∴

∴是以为首项，为公差的等差数列，  ………………………1分

∴                         ………………………………………1分

（2）由（1）知，
∴                     …………………………2分

于是

，                 …………………………2分

∴                               …………………………2分

（3）结论成立，证明如下：                      …………………………1分

设等差数列的首项为，公差为，则

于是

   ………………………2分

将代入得，，
∴                                …………………………2分

又

           …………………………2分

∴。

解：（1）设数列的公比为，

若，则，，，故，与已知矛盾，故，从而得，

由，，成等差数列，得，

即，解得………5分所以

（2）由（１）得，，

所以

（1）∵，

∴,.

∵，，

∴

。

又，

∴数列是公比为3，首项为的等比数列。

（2）依据（1）可以，得。

于是，有，即。

因此，数列是首项为，公差为1的等差数列。

故。

所以数列的通项公式是，

（3）用数学归纳法证明：

(i)当时，左边，右边，

即左边=右边，所以当时结论成立，

(ii)假设当时，结论成立，即。

当时，左边

，

右边。

即左边＝右边，因此，当时，结论也成立。

根据(i)、(ii)可以断定，对的正整数都成立。

所以。

解析：（1）由已知可得：,      ………..…..1分

则,即有,             ………….…………. …..3分

，化简可得. .        …………………………..4分

（2） ,又,

故 ,……………..6分

由于是正整数，且，则,

又是满足的正整数，则,

,

所以，> ,从而上述猜想不成立.       …………………………………..10分

（3）命题:对于首项为正整数，公差为正整数的无穷等差数列，总可以找到一个无穷子数列,使得是一个等比数列.                 ……….. …….. …………..13分

此命题是真命题,下面我们给出证明.

证法一: 只要证明对任意正整数n,都在数列{an}中.因为bn=a(1+d)n=a(1+d+d2+…+dn)=a(Md+1)，这里M=+d+…+dn-1为正整数，所以a(Md+1)=a+aMd是{an}中的第aM+1项，证毕.                 ……………..18分

证法二：首项为,公差为( )的等差数列为,考虑数列中的项:

依次取数列中项,,

,则由,可知,并由数学归纳法可知,数列为的无穷等比子数列.

（1）由得 ，

所以平面区域为内的整点为点（3,0）或在直线上.

直线与直线交点纵坐标分别为

内在直线上的整点个数分别为4n+1和2n+1,

（2）由得

是以2为首项，公比为2的等比数列

解析：（1）因为

所以其值域为 …………2分

于是 …………4分

又                   …………6分

（2）因为

所以……8分

法一：假设存在常数，

使得数列，…………10分

得符合。…………12分

法二：假设存在常数k＞0，使得数列满足当k=1不符合。……7分

当，…………9分

则当

（3）因为所以的值域为       

于是

则 …………14分

因此是以为公比的等比数列，

又则有 …………16分

进而有

解析：（1）

，所以为等差数列。

（2）（必要性）若数列是公比为q的等比数列，则，，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。

（充分性）：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，

则，

于是得即

       由有即，从而

因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列。

综上，数列是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。

解析：解:（1）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：

（1）；      （2）；

（3）；     （4）；

（5）；       （6）；

2个起评，对2个1分，3个2分，4个3分，5个4分，6个5分

（2），由，

则或（，），            6分

，

，

…

，

所以，                       7分

因为，所以，且为奇数，        8分

是由个1和个构成的数列，            9分

所以

，                 10分

（3）

则当的前项取，后项取时最大，  12分

此时14分[来源:学科网ZXXK]

证明如下：

假设的前项中恰有项取，则

的后项中恰有项取，其中，，，。

所以      ，

，    16分

所以的最大值为

（1）解： 的通项公式为（），

（2）解：由（1），得，

所以，

所以

。

故数列的前项和，

（1）由已知有，.2分

所以，

，5分

所以，

因为，所以.……………………8分

（2）即.由且得.2分

所以或……………………………3分

即或对任意成立，………………………5分

而，且，所以或.……………8分

（1）等，答案不唯一；……………4分

（2），当时最小值为9,；……………6分

，则,

因此，时，最大值为6，……………9分

所以，，数列是数列的“下界数列”；……………10分

（3）……………11分

，   ……………12分

不等式为，，……13分

设，则，

……………15分

当时，单调递增，时，取得最小值，因此……………17分

的最小值为   ……………18分

（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”[来源:学科网ZXXK]

所以也是该数列的项，且-------------------1分

故-------------------3分

即。 -------------------4分

（2）设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数列

若，则

即对数列中的任意一项

-------------------6分

同理可得：若，也成立，

由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”；-------------------8分

又因为数列所有项之和是，所以，即-------------------10分

（3）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，

因为数列为递增数列，所以

则

又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数[来源:学科网ZXXK]

故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，------------------12分

则----------14分

①若则有，又，由此得，与矛盾；-------------------15分

②若。由，得

即，故，与矛盾；-------------------17分

综合①②得，不存在满足条件的数列。-------------------18分[来源:Zxxk.Com]