热门试卷

解析：（1）设数列的公差为，数列的公比为

 由题意得 …………………………………………………………2分

  解得

……………………………………………………5分

（2）由

知

两式相减：……………………………8分

………………………………………………………………10分

当时，，适合上式

即是等比数列……………………………………………………………………12分

（1），

，即，      

令，则，，

因此，数列是首项为，公差为的等差数列。

，                    

，                   

（2）（方法一）先证明当时，。

设，则，

当时，，

在上是增函数，则当时，，即，

因此，当时，，， 

当时，，， 

。

。

（方法二）数学归纳法证明

（1），，当时，成立；

，，

又，，

当时，成立，          

（2）设时命题成立，即，，

当时，，

要证， 即证，

化简，即证，                             

设，则，

当时，，

在上是增函数，则当时，，即。

因此，不等式成立，即当时成立， 

当时，，

要证， 即证，

化简，即证，

根据前面的证明，不等式成立，则时成立。

由数学归纳法可知，当时，不等式， 成立。

（1）解：由得，，

又因为存在常数，使得数列为等比数列，

则即，所以.

故数列为首项是2，公比为2的等比数列，即.

此时也满足，则所求常数的值为1且.

（2）解：由等比数列的性质得：

（i）当时，；

（ii） 当时，，

所以.

（3）解：注意到是首项、公比的等比数列，是首项、公比的等比数列，则

（i）当时，

；

（ii）当时，

.

即.

(1)由题意得，

当时，，

又，所以

设等差数列的公差为，由，，

可得，解得。

所以，所以。

(2)由(1)得，当时，，当时，，

所以当时，；

当时，

。

记，           ①

，②

①－②得，

故，

则。

因为，所以。

（1）容易求得：，

故可以猜想，  下面利用数学归纳法加以证明：

（i）        显然当时，结论成立，

（ii）                   假设当；时（也可以），结论也成立，即

，

那么当时，由题设与归纳假设可知：

即当时，结论也成立，综上，对,成立。

（2）

所以

所以只需要证明

（显然成立）

所以对任意的自然数，都有

（1）由已知得，，，

所以，解得或。

又因为，所以。

所以。

又，，所以等比数列的公比，

所以。

（2）由  ①，得当时，

  ②，

①-②，得当时，，所以2)。

而时，，所以，所以。

所以

。

（1）当是奇数时，；当是偶数时，。

所以，当是奇数时，；当是偶数时，。 

又，，所以，，，…，，…是首项为1，公差为2的等差数列；

，，，…，，…是首项为2，公比为3的等比数列。        

所以，。        

（2）由（1），得

，

。        

所以，若存在正整数、，使得，则

。 

显然，当时，；

当时，由，整理得。

显然，当时，；

当时，，

所以是符合条件的一个解。                 

当时，

。       

当时，由，整理得，

所以是符合条件的另一个解。

综上所述，所有的符合条件的正整数对，有且仅有和两对。 

（1）由已知可知数列为等差数列，且首项为1，公差为1。

∴数列的通项公式为，（2分）

∵，∴，∴，∴数列为等比数列，（4分）

又，∴，∴数列的通项公式为，（6分）

(2)由已知得：。

∴，

∴，（8分）

∴两式相减得

，（10分）

∴数列的前项和，（12分）

解法一：（1）设既会唱歌又会跳舞的有x人，那么由题意可知：

只会唱歌的有（2-x）人，只会跳舞的有（5-x）人，

文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人。

显然x可以取得的值只有0，1，2

①  当x=0时，为不可能事件，显然不符合题意

②  当x=1时，是对立事件，且

所以x=1时不符合题意

③当x=2时，符合题意。

综上可知道：既会唱歌又会跳舞的有2人，且文娱队中共有5人

（2）的可能取值为0，1，2      

，

，

∴ =， 

解法二：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人。

（1）∵，∴，

即，∴，∴x=2。

故文娱队共有5人，

（2） 的可能取值为0，1，2     

，

，

∴ =， 

（1）由----①     得----②，

①②得，…………………………………………2分

；  ………………………………………………………………………………3分

…………………………………………………………………4分

     …………………………………………………………………………6分

（2）因为         ………………………-………………………8分

所以          ………………………………………………………9分

所以   ………………………………………………………10分

     ………………………………………………………11分

所以            ………………………………………………………12分

（1）在中，令n=1，可得，即.

当时，∴， …∴，即.∵，∴，即当时，.   ……又，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

于是，∴.    …………………………………………6分

（2）∵,

∴,      ……………………………………………………………8分

∴=. …10分

由，得，即，

单调递减，∵，

∴的最大值为4.    ……………………………………………………………………………………12分

解析：（1）依题意，有，， ………………………4分

（2）由得，

即。

猜测。      …………………………………………………………2分

证明：①当时，可求得，命题成立； ……………………………1分

②假设当时，命题成立，即有， …………………………………1分

则当时，由归纳假设及，

得。

即

解得（不合题意，舍去）

即当时，命题成立。   …………………………………………………………3分

综上所述，对所有，。      ……………………………………1分

（3）

，……………………2分

因为函数在区间上单调递增，且，

所以，…………………………………………………………………………2分

由，有或，

故，，………………………………………………………………2分

（1）由，得     ……3分

（2）由 得                              ……8分

所以，是首项为1，公差为的等差数列                             ……9分

（3）由（2）得               ……-10分

当时 ，，当时，上式同样成立， ……12分

所以

因为，所以对一切成立，    ……14分

又随递增，且，所以，

所以，                                     ……16分