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1
题型：填空题
|
填空题 · 5 分

4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_______________.

正确答案

0.1

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型：简答题
|
简答题 · 12 分

为数列{}的前项和.已知＞0，=.

17.求{}的通项公式；

18.设 ,求数列{}的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，

当时，==，即，因为，所以=2，

所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，

所以=；

考查方向

本题考查了数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法。

解题思路

（Ⅰ）先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；

易错点

本题在用公式法计算通项公式时n=1易丢.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）【考查方向】本题考查了数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法。

解析

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，

所以数列{}前n项和为= =.

解题思路

（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和.

易错点

本题在裂项中错出现错误。

1
题型：简答题
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简答题 · 13 分

设数列{}的前n项和为，已知=1，，且=.

22.证明：=3

23.求S

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）由条件，对任意，有，

因而对任意，有，

两式相减，得，即，

又，所以，

故对一切，。

解析

见答案

考查方向

本题主要考察数列递推关系，数列求和等知识，意在考察考生的逻辑推理能力和分类整合的能力。

解题思路

当，有，

两式相减，得，即，然后验证当时，命题成立即可；

易错点

不说明当n=1的情况导致丢分；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由（1）知，，所以，于是数列是首项为1，公比为3的等比数列，数列是首项是2，公比为3的等比数列，所以，

于是，从而，

综上所述，

考查方向

本题主要考察数列递推关系，数列求和等知识，意在考察考生的逻辑推理能力和分类整合的能力。

解题思路

通过求数列的奇数项和偶数项的和即可得到其对应的前n项和的通项公式。

易错点

不会分类求和，或不知道该如何求和。

1
题型：简答题
|
简答题 · 13 分

已知数列满足，且

成等差数列.

22. 求q的值和的通项公式；

23. 设，求数列的前n项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(I) ;

解析

(I) 由已知，有，即，

所以，又因为，故，由，得，

当时，，

当时，，

所以的通项公式为

考查方向

1.等差中项定义；

解题思路

(I)由得 先求出，分为奇数与偶数讨论即可；

易错点

不会讨论来解答。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(II) .

解析

（II）解：由（I）得.设的前n项和为，则

 ，

，

上述两式相减，得

，

整理得，.

所以，数列的前n项和为，.

考查方向

1.等比数列及前项和公式.2.错位相减法.

解题思路

(II)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.

易错点

没有掌握求和方法。

1
题型：填空题
|
填空题 · 5 分

16.如下面数表为一组等式：某学生猜测，若该学生回答正确，则            ．

正确答案

解析

可由待定系数法求得，解得，所以.

考查方向

本题主要考查合情推理等知识，意在考查考生的推理能力和运算求解能力。

解题思路

1.根据题中给出的等式找到规律；

2.根据规律得到方程组后求解即可。

易错点

无法发现题中给出的等式的规律导致没有思路。

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型：简答题
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简答题 · 13 分

设是等差数列，是各项都为正数的等比数列（），且，,已知，

19.求数列，的通项公式；

20.设， ,（），试比较与的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），.

解析

（Ⅰ）设等差数列公差为，等比数列公比为

依题意：-------------------------2分

解得：，-----------------------------------------------4分

所以，.

考查方向

本题主要考查等比数列、等差数列基本量的求解，错位相减法求和等知识，意在考查考生运算求解能力和分析问题、解决问题的能力。

解题思路

问利用等差数列和等比数列的基本量求出其通项公式，

易错点

利用错位相减法求和求不对；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（Ⅱ） ，

①

②

①  ②得：，

又

当时，

当时，．

所以．

考查方向

本题主要考查等比数列、等差数列基本量的求解，错位相减法求和等知识，意在考查考生运算求解能力和分析问题、解决问题的能力。

解题思路

先利用错位相减法求和，然后做差比较与的大小。

易错点

不会比较与的大小。

1
题型：简答题
|
简答题 · 16 分

（16分）（2015•上海）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．

（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；

（2）设{an}的第n0项是最大项，即a≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第n0项是最大项；

（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．

正确答案

1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，

∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，

∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，

则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；

（2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1

=2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1

=2bn+a1﹣2b1，

∴，

∴．

∴数列{bn}的第n0项是最大项；

（3）由（2）可得，

①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；

单调递增，有最小值m=a1=λ，

∴∈（﹣2，2），

∴λ∈，

∴．

②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，

∴M=3，m=﹣1，

（﹣2，2），不满足条件．

③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；

当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．

综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．

知识点

由数列的前几项求通项数列与不等式的综合
1
题型： 单选题
|
单选题 · 13 分

（本小题满分13分）

已知等差数列的通项公式.设数列为等比数列,且.

（Ⅰ）若,且等比数列的公比最小，

（ⅰ）写出数列的前4项；

（ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明：以为首项的无穷等比数列有无数多个.

A 

正确答案

A

考查方向

本题主要考查了等差等比数列求和公式和通项公式等相关知识和性质，数学归纳法和分析法证明问题的基本思想方法，意在考查考生的运算求解能力，分析问题和解决问题的能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，较难。

易错点

1、由题归纳法得数列的通项公式而未能利用数学归纳法进行证明而错解。

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

已知等差数列()中，，，则数列的通项公式     ；__  ____．

A 

B 

C 

D 

正确答案

B

考查方向

本题主要考查等差数列通项公式和求和公式的应用，意在考查考生的运算求解能力及分析问题和解决问题能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，较易。

易错点

本题易在求和项数的判断上出现错误。

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的前n项和及其最值
1
题型：填空题
|
填空题 · 4 分

已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y=           ．

正确答案

8

解析

利用矩阵乘积运算，得出，得出

考查方向

本题主要考查了二阶矩阵的运算

易错点

矩阵AB运算，而不是矩阵BA运算，容易概念混淆

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型：简答题
|
简答题 · 13 分

设实数，整数，.

（1）证明：当且时，；

（2）数列满足，，证明：

正确答案

见解析。

解析

本题以二项式展开与数列变换为背景，考察学生的转化和推演能力、灵活运用能力和综合创新意识。

（1）数学归纳法证明：当p=2时，左边=（1+x)2=1+2x+x2，右边=1+2x.由于，则命题成立；

当p=k(k>1,k为整数）时，若命题成立，则，由于x>-1，则1+x>0，则

即，p=k+1时命题也成立。

综合可见，当且时，；

（2）由（c>0,p为不小于2的正整数），可知，an>0.

先用数学归纳法证明。

①当n=1时，由题知，不等式成立；

②假设n=k(k是正整数）时不等式成立，则。

由于，则

由于，则，由（1）的结论可得，

，可得，.

所以，n=k+1时，不等式也成立。

综合①、②可得，对任意正整数，总有。

再由，可得。

所以，。

证法二：设，

则其导数

因此，f(x)在定义域内是增函数。则。

①当n=1时，由题知,则，

又，，可见，n=1时，不等式成立；

②假设n=k(k是正整数）时不等式成立，即，

则得，。

所以，n=k+1时，不等式也成立。

综合①、②可得，对任意正整数，总有。

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型：简答题
|
简答题 · 13 分

已知数列的各项均为正整数，且，

设集合。

性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。

性质2 若记，且对于任意，，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。

性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；

（1）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；

（2）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。

（3）若数列为阶完美数列，求数列的通项公式。

正确答案

见解析

解析

（1）；

为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列；

（2）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有

，即

，其中，必有，

所以仅存在唯一一组（）使成立，

即数列为阶完备数列；

，对，，则，因为，则，所以，即

（3）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（2）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为

，。

下面用数学归纳法证明

显然时命题成立，假设当（时命题成立，即

当时，只需证

由于对称性只写出了元素正的部分，其中

既中正的部分的个元素统一为，其中

则中从，到这个元素可以用唯一表示其中，

中从（+1）到最大值这个元素可用唯一表示

其中

中正的部分个元素都存在唯一一组（）使成立，

所以当时命题成立。

即{}为阶完美数列，

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型：填空题
|
填空题 · 5 分

设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若、、成等比数列，则的值为         .

正确答案

解析

依题意得，所以，解得.

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用
1
题型：简答题
|
简答题 · 12 分

已知各项均不为0的等差数列前项和为，满足，，数列满足，.

17.求数列，的通项公式；

18.设，求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

则；

；

解析

则；

；

考查方向

求数列的通项公式

解题思路

根据已知条件建立方程关系，通过求解基本量求数列通项。

易错点

注意数列类别的判定，能够根据数列的等量关系正确运算基本量

教师点评

正确列出等量关系，能够准确运算基本量是解题关键

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

则

解析

，

则

考查方向

错位相减求和

解题思路

先根据通项写出数列，然后应用错位相减法求和

易错点

（1）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.（2）公比q为参数时要分q＝1和q≠1讨论.

教师点评

注意表达式的“错项对齐”，错位后共有n+1项，∴中间n-1项是等比数列求和.

1
题型：简答题
|
简答题 · 12 分

18．设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）当时，记，求数列的前n项和．

正确答案

（1）由题意有， 即

解得 或 故或

（2）由，知，，故，于是

，          ①

.         ②

①-②可得

，

故.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

由数列的前几项求通项错位相减法求和
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