热门试卷

（1）是和的等差中项

对于上式，令，则或，

又（舍），故.

（2）易知：①，②，，

上述两式作差并化简得：，

又，，

即数列为等差数列，公差为，由，可知，

即数列的通项公式为，.

（3），即，

于是，即对一切正整数有，，证毕.

(1) 解法一：由得，

-

由上式结合得，

则当时，， -

---

，

∵，∴，

∴数列是首项为，公比为4的等比数列

∴，∴.-

【解法二：由得，

-

由上式结合得，

则当时，，--

-

， -

∴，

∵，∴，-

∴.-

(2) 由得，-

【或】

∴----

（1）设数列的公差为，

由已知得，，成等比数列，

∴  ，且

得或

∵ 已知为公差不为零

∴    ，

∴  .

（2）由（1）知       ∴ 

而等比数列的公比.

∴ 

因此，

∵

∴

∴

∵当时，

∴  （或用数学归纳法证明此不等式）

∴ 

∴当时，，不等式成立；

当时，

综上得不等式成立。

法二∵当时，

∴  （或用数学归纳法证明此不等式）

∴   

∴当时，，不等式成立；

当时，，不等式成立；

当时，

综上得不等式成立。

(法三)　利用二项式定理或数学归纳法可得：

所以，时，，

时，　综上得不等式成立。

（1）法一：由得

当时，，且，故

当时，，故，得，

∵正项数列，

∴

∴是首项为，公差为的等差数列。

∴   ，

∴   .

法二：

当时，，且，故

由得，

当时，

∴  ，

整理得

∵正项数列，，

∴  ，

∴是以为首项，为公差的等差数列，

∴   .

（2）证明：先证：

.

故只需证，

因为[]2

所以

所以

当取得到不等式，

相加得：

即：

（1）当时，，因为，所以，解得

（2）当时，

所以  ①分，所以  ②，由②-①得，…

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以

（3）当时，，当时，              …

所以

（1）在中

令得：

令得：

解得：，

又

解得

（2）由

得

又也满足

所以成立

∴

∴

∴ 

（3）

（法一）∵

∴

∴

（法二）∵

∴

当时，

………

累乘得： 

∴

（1）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.

所以.                                      …………… 3分

（2）设满足条件的一个等差数列首项为，公差为，.

，，的可能取值为。

对于给定的，， 当分别取时，可得递增等差数列个（如：时，，当分别取时，可得递增等差数列91个：；；；，其它同理）.

所以当取时，可得符合要求的等差数列的个数为：

。…………… 8分

（3）设等差数列首项为，公差为，

，，

记的整数部分是，则，即。

的可能取值为，

对于给定的，，当分别取时，可得递增等差数列个.

所以当取时，得符合要求的等差数列的个数

易证。

又因为，，

所以。

所以

。

即。                              …………… 13分