集合的概念及运算
共1168题

集合的概念及运算
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题型：简答题

简答题 · 13 分

设不等式的解集为.

（1）求集合；

（2）若，∈，试比较与的大小。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由

所以

（2）由（1）和，

所以

故

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）

正确答案

解析

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

复数 ( )。

正确答案

解析

分母实数化，可求得。

知识点

集合的含义

题型：简答题

简答题 · 18 分

给定常数，定义函数，数列满足.

（1）若，求及；（2）求证：对任意，；

（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为，，故，

（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，

即只需证明

若，显然有成立；

若，则显然成立

综上，恒成立，即对任意的，

（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有

此时，

即

故，

即，

当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；

若，则，

此时，也满足题意；

综上，满足题意的的取值范围是。

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

是的共轭复数. 若，（（为虚数单位），则（）

正确答案

解析

由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①

又z+=2 ②

由①②解得z=1﹣i

知识点

集合的含义

题型：简答题

简答题 · 13 分

在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；

（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。

正确答案

（1）点P在直线上

（2）

解析

（1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，

所以点P在直线上，

（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，

从而点Q到直线的距离为

，

由此得，当时，d取得最小值，且最小值为

知识点

集合的含义

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知点E、F分别在正方体的棱上，且, ,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

正确答案

解析

延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为，所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为

A[]

B[]

C[]

D[]

正确答案

解析

当x≥0时，

f（x）=，

由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；

当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；

由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

∴当x＞0时，。

∵函数f（x）为奇函数，

∴当x＜0时，。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），

∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：。

故实数a的取值范围是。

知识点

集合的含义并集及其运算交集及其运算任意角的概念

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。

（1）求数列的通项公式。

（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

正确答案

见解析。

解析

（1）设数列{an}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），

化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，

当d=0时，an=2，

当d=4时，an=2+（n﹣1）•4=4n﹣2。

（2）当an=2时，Sn=2n，显然2n＜60n+800，

此时不存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，

当an=4n﹣2时，Sn==2n2，

令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，

解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），

此时存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值为41，

综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n，

当an=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41

知识点

集合的含义

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝__________.

正确答案

解析

由题意，知，.

又C，F在抛物线y2＝2px(p＞0)上，

所以

由②÷①，得，即b2－2ba－a2＝0，

解得(负值舍去)。

故.

知识点

集合的含义

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