热门试卷

（1）设椭圆的方程为，F2（c，0）

∵  △AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴  ∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即

∵  c2=a2﹣b2，∴  a2=5b2，c2=4b2，∴

在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴  S=|B1B2||OA|=

∵  S=4，∴b2=4，∴  a2=5b2=20

∴  椭圆标准方程为；

（2）由（1）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2

代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0①

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴ ，

∵ ，

∴ =

∵ PB2⊥QB2，∴

∴ ，∴  m=±2

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0。

（1）当为奇数时，为偶数，为偶数，

∵，，

，

∴

=。

∴当为奇数时，成立，                       

同理可证，当为偶数时， 也成立。              

（2）由，得

=

=

=。                                          

又由，得，

所以，，

（1）时，，()，

则，令，得。

当时，，在是减函数，

当时，，在是增函数，

所以 在时取得最小值，即。          ……………………（4分）

（2）因为 ，所以 。

所以当时，函数有最小值。x1，x2∈R+，不妨设，则

。                       ………………………… （8分）

（3）（证法一）数学归纳法

ⅰ)当时，由（Ⅱ）知命题成立。

ⅱ）假设当( k∈N*)时命题成立，

即若，则。

当时，，，…，，满足 。

设，

由（2）得

=

=。

由假设可得 ，命题成立。

所以当 时命题成立。

由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，

所以 若，则   。      ………………（14分）

（证法二）若，

那么由（2）可得

，……（14分）

由题意知，，，

所以 解得                          

所以，所以。

解析：（1）因为，所以，

解得：或，又，所以，                   ………2分

由，解得，，列表如下：

所以，，                   ………4分

因为，

所以函数的零点是。                                       ………5分

（2）由（1）知，当时，，

“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值大于在上的最小值，即当时，”，      ………6分

因为，

① 当时，因为，所以，符合题意；

② 当时，，所以时，，单调递减，

所以，符合题意；

③ 当时，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，，

令（），则，所以在上单调递增，所以时，，即，

所以，符合题意，

综上所述，若对任意，存在，使成立，[来源:Z,xx,k.Com]

则实数的取值范围是。                           ………10分

（3）证明：由（1）知，当时，，即，

当，，，且时，，，，

所以

又因为，

所以，当且仅当时取等号，

所以，

当且仅当时取等号，

（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”[来源:学科网ZXXK]

所以也是该数列的项，且-------------------1分

故-------------------3分

即。 -------------------4分

（2）设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数列

若，则

即对数列中的任意一项

-------------------6分

同理可得：若，也成立，

由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”；-------------------8分

又因为数列所有项之和是，所以，即-------------------10分

（3）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，

因为数列为递增数列，所以

则

又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数[来源:学科网ZXXK]

故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，------------------12分

则----------14分

①若则有，又，由此得，与矛盾；-------------------15分

②若。由，得

即，故，与矛盾；-------------------17分

综合①②得，不存在满足条件的数列。-------------------18分[来源:Zxxk.Com]

（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为，，

设椭圆的标准方程是则.

.∴椭圆的标准方程是.       ……………………5分

（2）将代入椭圆方程，得，由直线与椭圆有两个交点，所以，解得 。

设、，则，，…………8分

因为以为直径的圆过点，所以，即，

而=，所以

，解得. ………………11分

如果对任意的都成立，则存在，使得以线段为直径的圆过点。

，即，所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点。                ………………………………13分

矩阵M的特征多项式为，

令，对应的一个特征向量分别为，， 

令，得。