余弦定理_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.

19.证明：；

20.若，求.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．

则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．

代入+=中，有

+=，变形可得

sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，

所以sin Asin B=sin C．

解析

（I）证明：由正弦定理可知原式可以化解为

∵和为三角形内角 , ∴则，两边同时乘以，可得由和角公式可知，原式得证。

考查方向

本题主要考查了正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.考查学生的分析问题的能力和计算能力

解题思路

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个结论，否则难以得出结论．

易错点

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，在用化边为角的技巧应用中有时会发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）4.

解析

（II）由题,根据余弦定理可知，

∵为为三角形内角，，

则，即由（I）可知，∴ ∴

考查方向

本题主要考查了正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.考查学生的分析问题的能力和计算能力

解题思路

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个结论，否则难以得出结论．

易错点

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，在用化边为角的技巧应用中有时会发生错误。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为 .

正确答案

8

解析

因为，所以，

又，解方程组得，由余弦定理得

，所以.

考查方向

1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.

解题思路

根据1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.结合已知条件构造方程组解出即可。

易错点

定理不熟悉。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

12．若锐角的面积为，且，则等于________．

正确答案

解析

由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．

考查方向

1、三角形面积公式；2、余弦定理．

解题思路

利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC.

易错点

计算能力弱，不会用余弦定理求三角形的面积

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .

正确答案

（，）.

解析

如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.

考查方向

正余弦定理；数形结合思想

解题思路

本题可对边进行延长，由正弦定理求出BE然后求出BF,即可得到AB的范围。

易错点

本题在综合应用正余弦定理时易错。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

11．如图，在中，，，，则的值为________.

正确答案

解析

说明D在线段BC上，且是靠近B的一个三等分点，以向量, 为一组基底，表示出向量的数量积，即可算出的值为。

考查方向

本题主要考查了平面向量的数量积,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与三角恒等变形公式，向量的运算等知识点交汇命题。

解题思路

平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一种是数量积的定义，而是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，可利用几何性质用一组已知基底数量积表示所求数量积。

易错点

1、本题易直接使用数量积的定义，而不知如何计算夹角。

2、不会选择一组基底，从而用向量的加减运算及利用几何性质用一组已知基底数量积表示所求数量积。

知识点

余弦定理三角形中的几何计算平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设△ABC的内角A,B,C的对边分别为，.

18.证明：;

19.若 ,且B为钝角，求A,B,C.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

由及正弦定理得，所以。

解析

见答案

考查方向

本题主要考察正弦定理及其应用，意在考察考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

由题及正弦定理得可得。

易错点

不会想到切割化弦；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

,,.

解析

因为，所以，

由（1）知，因此，又B为钝角，所以，

故，由知，从而，

综上所述，,,.

考查方向

本题主要考察正弦定理及其应用，意在考察考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

由两角和与差的公式化简得，结合（1）得，又B为钝角，所以求出角，进而可以求出角A,C。

易错点

做第（2）问时联系不上第（1）问的结论。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

16.已知向量，设

（I）求函数的解析式及单调增区间；

（II）在中，分别为内角A,B,C的对边，且，求的面积.

正确答案

（1）= []；

（2）

解析

试题分析：本题属于三角函数中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，直接按照步骤来求

（Ⅰ）

=

由可得

所以函数的单调递增区间为[],

（Ⅱ）

由可得

考查方向

本题考查了利用三角函数的函数单调区间和解三角形求面积

解题思路

本题考查三角函数与解三角形，解题步骤如下：

1、利用向量的数量积求出并求出单调区间；

2、利用余弦定理求出，借助正弦定理求出面积

易错点

第一问中的辅助角容易计算错误

知识点

正弦函数的单调性三角函数中的恒等变换应用正弦定理余弦定理平面向量数量积的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.在中，内角的对边长分别为，已知，且＝，则（）

A6

B4

C2

D1

正确答案

C

解析

由题意，得，

即，

由正弦定理，

得，

整理，

得，又，

所以联立以上两式可得b=2.

故选择C选项。

考查方向

本题主要考查了两角和与差的正弦、正余弦定理等知识点，为高考必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与正余弦定理等知识点交汇命题。

解题思路

利用两角和与差的正弦及余弦定理即可求出b值。

易错点

对相关知识不熟悉导致出错。

知识点

两角和与差的正弦函数余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17.设函数.

（1）求函数的最小正周期和最值；

（2）若，其中A是面积为的锐角的内角，且，求边和的长．

正确答案

（1），最大值为，最小值为；

（2），．

解析

试题分析：本题属于三角函数的图像与性质及正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关三角函数的知识，即可解决本题，解析如下：

试题解析：（1），

∴函数f(x)的最小正周期.

当时，函数f(x)的最大值为；

当时，函数f(x)的最大值为.

（2）因为，即，

∴，∵A是面积为的锐角△ABC的内角，∴.

∵，∴AC=3.

由余弦定理得：，

∴.

考查方向

本题考查了两角和与差的正弦、三角函数的图象与性质、余弦定理、三角形的面积公式等知识点。

解题思路

（1）先用两角和与差的正弦化简的解析式，然后利用三角函数的图象与性质分别求得最小正周期和最值；

（2）先根据解析式求得角，从而由面积公式求得的长，再由余弦定理求得的长．

易错点

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用余弦定理三角函数的最值

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为

A B．

B D．

正确答案

B

考查方向

本题主要考查了余弦定理的应用及三角函数的定义等知识，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常以三角公式与正余定理等知识交汇命题，较易。

易错点

1、本题在把题意转化成余弦定理模型上易出错。

知识点

正弦定理余弦定理解三角形的实际应用

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

考查方向

易错点

知识点