余弦定理
共145题

· 余弦定理

余弦定理
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题型：填空题

填空题 · 5 分

16．等腰中，，为中点，，则面积的最大值为__________。

正确答案

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知识点

余弦定理三角形中的几何计算三角函数的最值利用基本不等式求最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

9．在中，内角所对的边分别为，其中，且面积为,则（）

正确答案

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知识点

正弦定理余弦定理

题型：简答题

简答题 · 12 分

16．已知函数.

（Ⅰ）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合；

（Ⅱ）已知中，角的对边分别为若求实数的最小值.

正确答案

(Ⅰ)

∴函数的最大值为.要使取最大值，则

，解得.

故的取值集合为.

（Ⅱ）由题意，，化简得

，，∴， ∴

在中，根据余弦定理，得.

由，知，即.

∴当时，实数取最小值

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知识点

两角和与差的正弦函数二倍角的余弦余弦定理三角函数的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

16.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+asin C-b-c=0.

（1）求A;

（2）若a=2,△ABC的面积为,求b,c.

正确答案

解：（1）由acos C+asin C-b-c=0及正弦定理得

sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0.

因为B=π-A-C,

所以sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.

由于sin C≠0,所以sin=.

又0<A<π,故A=.

（2）△ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.

而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.

解得b=c=2.

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知识点

正弦定理余弦定理

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知的三个内角的对边分别为．

（1）若当时，取到最大值，求的值；

（2）设的对边长，当取到最大值时，求面积的最大值．

正确答案

（1）因为

，故当时，原式取到最大值，

即三角形的内角时，最大值为．

（2）由（1）结论可得，此时．

又，因此，当且仅当时等号成立．

所以，故面积的最大为．

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知识点

二次函数在闭区间上的最值诱导公式的作用余弦定理

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．在△ABC中，分别为A，B，C所对的边，且.

（1）求角C的大小；

（2）若，且△ABC的面积为，求值.

正确答案

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知识点

正弦定理余弦定理

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．设的角所对的边分别是，向量，，．

（1）若，求证：为等腰三角形；

（2）若，边长，角，求的面积

正确答案

设的角所对的边分别是，向量，，．

（1）若，求证：为等腰三角形；

（2）若，边长，角，求的面积．

证明：（证法一）（1）∵∥， ∴，

由正弦定理可知，，其中是外接圆的半径，

∴．∴为等腰三角形．

（证法二）∵∥， ∴，

由正弦定理可知，，∴
∵，∴．即为等腰三角形．

（2）由题意可知，，即，∴

由余弦定理可知，即

，（舍去）

∴．

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知识点

三角函数中的恒等变换应用正弦定理余弦定理平行向量与共线向量量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：简答题

简答题 · 12 分

17. 如图，港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？

正确答案

在△BDC中，由余弦定理知cos∠CDB＝

sin∠CDB＝

∴轮船距港口A还有15海里．

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知识点

正弦定理余弦定理解三角形的实际应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

16．三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且。

（1）求内角B的余弦值；

（2）若，求ΔABC的面积。

正确答案

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知识点

正弦定理余弦定理等比数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．已知的内角A、B、C所对的边为， , ，且与所成角为．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）求的取值范围．

正确答案

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知识点

三角函数中的恒等变换应用正弦定理余弦定理平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

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