热门试卷

（1）找BC中点G点，连接AG，FG,

∴F，G分别为DC，BC中点,∴FG,

∴四边形EFGA为平行四边形,

∴,∵AE,

∴,又∵,

∴平面ABC平面BCD。

又∵G为BC中点且AC=AB=BC ,∴AGBC,

∴AG平面BCD, ∴EF平面BCD 。

（2）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则

设平面CEF的法向量为，由  得 ,

平面ABC的法向量为,则。

∴平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值为。

（1）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,

由余弦定理可知,

即,在中，∠DAB=60°，，则为直角三角形，且。又AE⊥BD，平面AED，平面AED，且，故BD⊥平面AED；

（2）

由（Ⅰ）可知，设，则,建立如图所示的空间直角坐标系，，向量为平面的一个法向量.

设向量为平面的法向量，则,即，

取，则，则为平面的一个法向量.

，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则

二面角F-BD-C的余弦值为。

(1)方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面;

方法二:

如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面;

(2)如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以

,

在中,,所以在中, ,所以在中

.

（方法一）

（1）

证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0,0,0），B（0,0,2），C（1,0,1），B1（0,2,2），C1（1,2,1），E（0,1,0）。

易得＝（1,0，－1），＝（－1,1，－1），于是·＝0，

所以B1C1⊥CE.

（2）＝（1，－2，－1）。

设平面B1CE的法向量m＝（x，y，z），

则即

消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝（－3，－2,1）。

由（1），B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，

故＝（1,0，－1）为平面CEC1的一个法向量。

于是cos〈m，〉＝，

从而sin〈m，〉＝.

所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.

（3）＝（0,1,0），＝（1,1,1）。

设＝λ＝（λ，λ，λ），0≤λ≤1，有＝＋＝（λ，λ＋1，λ）。

可取＝（0,0,2）为平面ADD1A1的一个法向量。

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则

sin θ＝|cos〈，〉|＝

＝.

于是，解得，

所以AM＝.

（方法二）

（1）

证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，

所以CC1⊥B1C1.

经计算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，

从而B1E2＝，

所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，

又CC1，C1E平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，

所以B1C1⊥平面CC1E，

又CE平面CC1E，故B1C1⊥CE.

（2）过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.

由（1），B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，

所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角。

在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.

在Rt△B1C1G中，B1G＝，

所以sin∠B1GC1＝，

即二面角B1－CE－C1的正弦值为.

（3）连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角。

设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有MH＝，AH＝.

在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，得EH＝.

在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，

由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos 135°，得，

整理得5x2－－6＝0，解得x＝.

所以线段AM的长为.

（1）

证法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图。

∵AB＝AA1＝，

∴OA＝OB＝OA1＝1，

∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)。

由＝，易得B1(－1,1,1)。

∵＝(－1,0，－1)，＝(0，－2,0)，

＝(－1,0,1)，

∴·＝0，·＝0，

∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，

∴A1C⊥平面BB1D1D。

证法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD。

又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C。

又∵OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA12＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C。

又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D。

（2）解：设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)，

∵＝(－1,0,0)，＝(－1,1,1)，

∴∴

取n＝(0,1，－1)，

由(1)知，＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量，

∴cos θ＝|cos〈n，〉|＝.

又∵0≤θ≤，∴

（1）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC= ，

由 ，AB=2得 ，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，

从而AC⊥平面BCDE，

所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而

DE⊥平面ACD；

(2)方法1

作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AB交于点G，连接BG，由（1）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而

BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得

AC⊥CD。

在Rt△ACD中，由DC=2, ，得 ；

在Rt△AED中，由ED=1，得 ；

在Rt△ABD中，由 ，AB=2，

得 ， ，从而 ，

在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得 ， 。

在△BFG中, ，

所以，∠BFG= ，即二面角B-AD-E的大小为 。

方法2：以D的原点，分别以射线DE，DC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示.

由题意知各点坐标如下： ， ， ， ， 。

设平面ADE的法向量为

平面ABD的法向量为，可算得：

 ， ，

由 即 ，可取

由即可取

于是

由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B-AD-E的大小为

（1）证明：因为 底面，底面，

所以 ，                                         ……………… 1分

又因为 ， ，

所以 平面，                                   ……………… 2分

又因为 平面，

所以 .                                          ……………… 3分

因为 是中点，

所以 ，

又因为 ，

所以 平面.                                     ……………… 5分

（2）解：在平面中，过点作

因为 平面，

所以 平面，

由 底面，得，，两两垂直，

所以以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，.

……………… 6分

设平面的法向量为，

因为 ，，

由  得

令，得.      ……………… 8分

设与平面成角为，

因为 ，

所以 ，

即 .                                       ……………… 10分

（3）解：因为 ，，

所以 ，

又因为 ，

所以 .                ……………… 12分

因为 平面，平面的法向量，

所以 ，

解得 .                                              ……………… 14分

证明（1）方法一：如图6，取的中点，且是中点，所以。因为是中点，所以；又因为（Ⅰ）且，所以，所以面面，且面，所以面；

方法二：如图7所示，

取中点，且是中点，所以；取的三等分点，使，且，所以，所以，且，所以面；

（2）如图8所示，

由已知得到面面，过作于，所以，过作于，连接，所以就是的二面角；由已知得到，设，所以

，

在中，，所以在中， ，所以在中