热门试卷

（1）按如图所示建立空间直角坐标系，由题知，可得点、、

、、、，

于是，，

可算得，

因此，，

又，

所以，，

（2）设是平面的法向量，

∴

又，

∴　取，可得即平面的一个法向量是，

由（1）知，是平面的一个法向量，

记与的夹角为，则， ，

结合三棱柱可知，二面角是锐角，

∴所求二面角的大小是。

（1）连接，，作的中点，连接

∵，，∴四边形是菱形。

∴………2分，又∵，

∴四边形是平行四边形，∴

∴………4分，由已知条件可知，，

所以面，所以

又∵，所以面……6分

（2）过作于，过作于，连接，∵，，∴面，∴，又∵，，∴面，∴，∴就是二面角的平面角……10分，根据平面几何知识，可求得，，，在直角三角形中，…13分，∴二面角余弦值为

（1）证明：在中,

所以,由勾股定理知所以 。  ……2分

又因为 ⊥平面，平面

所以 。                                   ………………………4分

又因为 所以 ⊥平面，又平面

所以 。                                   ………………………6分

（2）因为⊥平面，又由（1）知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .

设，则,,，,，

.   …………………………8分

设平面的法向量为，则  所以

令.所以.          ……………………………9分

又平面的法向量          ……………………………10分

所以，  解得 。  ……………………11分

所以的长为。              ……………………………………12分

解法一：

（1）证明：延长交的延长线于点，连接.

∵∥，且，

∴为的中点.

∵为的中点，

∴∥.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角.

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.

∴当时，最大. 此时，.

∴.

∵∥，平面，

∴平面.

∵平面，平面，

∴，.

∴为平面 与平面所成二面角（锐角）.

在Rt△中，，.

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.

解法二：

（1）证明：取的中点，连接、.

∵为的中点，

∴∥，且.

∵∥，且，

∴∥，.

∴四边形是平行四边形。

∴∥.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角.

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.

∴当时，最大. 此时，.

∴.

在Rt△中，.

∵Rt△～Rt△，

∴，即.

∴.

以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，

建立空间直角坐标系.

则，，，.

∴，，.

设平面的法向量为，

由，，

得

令，则.

∴平面的一个法向量为.

∵平面，  ∴是平面的一个法向量。

∴.

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.

（1）如图，连结。

因为底面是正方形，

所以与互相平分。

又因为是中点，

所以是中点。

在△中，是中点，是中点，

所以∥。

又因为平面，平面，

所以∥平面。                                    ……………4分

（2）取中点，在△中，因为，

所以。

因为面底面，

且面面，

所以面。

因为平面

所以。

又因为是中点，

所以。

如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系。

因为，所以，则，，，，，，，。

于是，，。

因为面，所以是平面的一个法向量。

设平面的一个法向量是。

因为所以即

令则，

所以。

由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为。…10分

（3）假设在棱上存在一点，使面，设，

则。 由（Ⅱ）可知平面的一个法向量是。

因为面，所以。

于是，，即。

又因为点在棱上，所以与共线。

因为，，

所以。

所以，无解。

故在棱上不存在一点，使面成立。           ……………14分