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题型:简答题
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简答题 · 10 分

23. 已知四棱锥的底面为直角梯形,底面,且上。

(1)求异面直线所成角的余弦值;

(2)若中点,求P到平面AMC的距离;

(3)是否存在,使得二面角余弦值为,若存在,确定位置;若不存在,说明理由。

正确答案

解析

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知识点

异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,BC⊥平面ABP,且△ABPB为直角的等腰直角三角形,若AD=AB=2BC,则二面角A-DC-P的平面角为____________.

正确答案

解析

由题意可知BC,BA,BP两两垂直,

分别以BA,BP,BC所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

BA=a(a>0),

所以A(a,0,0),D(a,0,),C(0,0,a),P(0,a,0),

显然BP⊥平面ABCD,

所以=(0,a,0)是平面ABCD的一个法向量,

设平面DCP的法向量为n=(x,y,z),

x=1,则,y=-1,

所以n=(1,-1,-),

则cos􀎮 ,n􀎯 ,

由图观察可知二面角A-DC-P的平面角为锐角,

所以二面角A-DC-P的平面角为.

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

10.如图,DE平面ABCD,菱形ABCD的边长为2,对角线交于点O,若∠ADC=120°,DE=2,BE上一点F满足OFDE,则直线AF与平面BCE所成角的正弦值为______.

正确答案

解析

∵DE⊥平面ABCD,OF∥DE,∴OF⊥平面ABCD,以O为原点OA,OB,OF分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:

则A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),E(0,-1,2),F(0,0,1),=(-,0,1),=(-,-1,0),=(0,-1,1),

设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则取n=(1,-,-),

则cos<,n>===--

设直线AF和平面BCE所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥底面ABCD,M是棱PD的中点,N是棱AB上一点,若的值为(        )

A1

B 

C 

D2

正确答案

B

解析

因为点M是线段PD的中点,所以点P,

M到底面ABCD的距离之比为2∶1, ,

所以.

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

2.两个面垂直,经过第一个面内一点且垂直于交线的直线(   )

A垂直于第二个平面内

B与第二个平面相交

C平行于第二个平面

DA、B、C均有可能

正确答案

D

解析

因为经过第一个面内一点且垂直于交线的直线有三种情况,

分别是与第二个平面垂直、相交、平行,

所以选D.

知识点

空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面垂直的判定与性质
下一知识点 : 平面与平面垂直的判定与性质
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