- 直线与平面垂直的判定与性质
- 共169题
23. 已知四棱锥的底面为直角梯形,
,
底面
,且
,
,
在
上。
(1)求异面直线与
所成角的余弦值;
(2)若为
中点,求P到平面AMC的距离;
(3)是否存在,使得二面角
余弦值为
,若存在,确定位置;若不存在,说明理由。
正确答案
解析
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知识点
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,BC⊥平面ABP,且△ABP是B为直角的等腰直角三角形,若AD=AB=2BC,则二面角A-DC-P的平面角为____________.
正确答案
解析
由题意可知BC,BA,BP两两垂直,
分别以BA,BP,BC所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设BA=a(a>0),
则
所以A(a,0,0),D(a,0,),C(0,0,
a),P(0,a,0),
显然BP⊥平面ABCD,
所以=(0,a,0)是平面ABCD的一个法向量,
设平面DCP的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=1,则,y=-1,
所以n=(1,-1,-),
则cos ,n
,
由图观察可知二面角A-DC-P的平面角为锐角,
所以二面角A-DC-P的平面角为.
知识点
10.如图,DE平面ABCD,菱形ABCD的边长为2,对角线交于点O,若∠ADC=120°,DE=2,BE上一点F满足OF
DE,则直线AF与平面BCE所成角的正弦值为______.
正确答案
解析
∵DE⊥平面ABCD,OF∥DE,∴OF⊥平面ABCD,以O为原点OA,OB,OF分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则A(,0,0),B(0,1,0),C(-
,0,0),E(0,-1,2),F(0,0,1),
=(-
,0,1),
=(-
,-1,0),
=(0,-1,1),
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则⇒
取n=(1,-
,-
),
则cos<,n>=
=
=--
设直线AF和平面BCE所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=
知识点
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥底面ABCD,M是棱PD的中点,N是棱AB上一点,若的值为( )
正确答案
解析
因为点M是线段PD的中点,所以点P,
M到底面ABCD的距离之比为2∶1, ,
所以.
知识点
2.两个面垂直,经过第一个面内一点且垂直于交线的直线( )
正确答案
解析
因为经过第一个面内一点且垂直于交线的直线有三种情况,
分别是与第二个平面垂直、相交、平行,
所以选D.
知识点
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