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1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在底面是正方形的四棱锥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.

(1)求证:

(2)确定点G在线段AC上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由;

(3)当二面角的大小为时,求PC与底面ABCD所成角的正切值.

正确答案

见解析

解析

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
2
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.则下列命题中正确的是()

Am⊥,n,m⊥n

B=m,n⊥mn⊥

C,m⊥,n∥m⊥n

D,m⊥,n∥m⊥n

正确答案

D

解析

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质
3
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

为平面,为直线,以下四组条件,可以作为的一个充分条件的是(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

充分条件直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
4
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,已知为线段的中点。

(1)求证:平面

(2)求二面角的平面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

证明(1)连结交于,连结, …………………………………………1分

为正方形,中点,中点,

,…………………………………………………………………………………3分

平面平面

平面,…………………………………………………………………………4分

(2)平面平面

为正方形,平面

平面

平面    ……………………………………………………6分

为原点,以轴建立如图所示的坐标系,

平面平面

为正方形,

为正方形可得:

设平面的法向量为

,令,则

 ……………………………………………………………………………8分

设平面的法向量为

 ,令,则

  ……………………………………………………………………10分

设二面角的平面角的大小为,则

二面角的平面角的余弦值为 ……………………………………12分

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
5
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图5,在直三棱柱中,D、E分别是BC和的中点,已知AB=AC=AA1=4,BAC=90.

(1)求证:⊥平面

(2)求二面角的余弦值;

(3)求三棱锥的体积。

正确答案

见解析。

解析

依题意,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

因为=4,所以A(0,0,0),

B(4,0,0),E(0,4,2),D(2,2,0),

B1(4,0,4).                          (1分)

(1).

因为,所以,即.

因为,所以,即.

又AD、AE平面AED,且AD∩AE=A,故⊥平面.

(2)由(1)知为平面AED的一个法向量.

设平面 B1AE的法向量为,因为

所以由,得,令y=1,得x=2,z=-2.即.

∴二面角的余弦值为.

(3)由,得,所以AD⊥DE.

,得.

由(1)得B1D为三棱锥B1-ADE的高,且

所以.

方法二:

依题意得,平面ABC,

.

(1)∵,D为BC的中点,∴AD⊥BC.

∵B1B⊥平面ABC,AD平面ABC,∴AD⊥B1B.

BC、B1B平面B1BCC1,且BC∩B1B=B,所以AD⊥平面B1BCC1.

又B1D平面B1BCC1,故B1D⊥AD .

,所以.

又AD、DE平面AED,且AD∩DE=E,故⊥平面.

(2)过D做DM⊥AE于点M,连接B1M.

由B1D⊥平面AED,AE平面AED,得AE ⊥B1D.

又B1D、DM平面B1DM,且B1D∩DM=D,故AE⊥平面B1DM.

因为B1M平面B1DM,所以B1M⊥AE.

故∠B1MD为二面角B1—AE—D的平面角.

由(1)得,AD⊥平面B1BCC1,又DE平面B1BCC1,所以AD⊥DE.

在Rt△AED中,

在Rt△B1DM中,

所以,即二面角B1—AE—D的余弦值为.

(3)由(1)得,AD⊥平面B1BCC1

所以AD为三棱锥A-B1DE的高,且.

由(1)得.

.

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
6
题型:简答题
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简答题 · 14 分

在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,//

(1)求证:平面

(2)求与平面所成角的正弦值;

(3)线段上是否存在点,使平面平面?证明你的结论。

正确答案

见解析

解析

(1)证明:因为

在△中,由余弦定理可得

所以 。                ………………2分

又因为

所以平面。           ………………4分

(2)解:因为平面,所以

因为,所以平面。                          ………………5分

所以两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系。 ………………6分

在等腰梯形中,可得

,所以

所以

设平面的法向量为,则有

所以   取,得。                ………………8分

与平面所成的角为,则

所以 与平面所成角的正弦值为。                      ………………9分

(3)解:线段上不存在点,使平面平面。证明如下:   ………………10分

假设线段上存在点,设  ,所以

设平面的法向量为,则有

所以   取 ,得。         ………………12分

要使平面平面,只需,                      ………………13分

, 此方程无解。

所以线段上不存在点,使平面平面。            ………………14分

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
7
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图5,在四棱锥中,底面ABCD是边长为

2的菱形,且DAB=60. 侧面PAD为正三角形,其所在的平

面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.

(1)求证:BG平面PAD;

(2)求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值;

(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:连结BD.

因为ABCD为棱形,且∠DAB=60°,所以ABD为正三角形.

又G为AD的中点,所以BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴BG⊥平面PAD.

(2)∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.

∵PG平面PAD,由(1)可得:PG⊥GB. 又由(1)知BG⊥AD.

∴PG、BG、AD两两垂直.

故以G为原点,建立如图所示空间直角坐标系

所以 , ,

 

设平面PCD的法向量为, 即

,则

又平面PBG的法向量可为

设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为,则

即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为.

(3)当F为PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.

取PC的中点F,连结DE,EF,DF,CG,且DE与CG相交于H.

因为E、G分别为BC、AD的中点,所以四边形CDGE为平行四边形,

故H为CG的中点. 又F为CP的中点,所以FH//PG.

由(2),得PG平面ABCD,所以FH平面ABCD.

又FH平面DEF,所以平面DEF⊥平面ABCD.

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
8
题型:简答题
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简答题 · 12 分

等边三角形ABC的边长为3,点D、E分别是边AB、AC上的点,且满足(如图1)。将折起到的位置,使二面角成直二面角,连结(如图2).

(1)求证:平面BCED;

(2)在线段BC上是否存在点P,使直线与平面所成的角为?若存在,求出PB的长,若不存在,请说明理由.

正确答案

见解析

解析

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
9
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿直线BD将△BCD翻折成△BD,使得平面B平面ABD.

(1)求证:平面ABD;

(2)求直线BD与平面所成角的正弦值.

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
10
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=,∠BAD=90o,∠BCD=45o,E为对角线BD的中点.现将△ABD沿BD折起到△PBD的位 置,使平面PBD⊥平面BCD,如图2.

(1)求证直线PE⊥平面BCD;

(2)求异面直线BD和PC所成角的余弦值;

(3) 已知空间存在一点Q到点P,B,C,D的距离相等,写出这个距离的值(不用说明理由)。

正确答案

见解析

解析

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
下一知识点 : 平面与平面垂直的判定与性质
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