- 直线与平面垂直的判定与性质
- 共169题
如图,在底面是正方形的四棱锥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.
(1)求证:;
(2)确定点G在线段AC上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由;
(3)当二面角的大小为时,求PC与底面ABCD所成角的正切值.
正确答案
见解析
解析
知识点
设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面.则下列命题中正确的是()
正确答案
解析
略
知识点
设为平面,为直线,以下四组条件,可以作为的一个充分条件的是( )
正确答案
解析
略
知识点
如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,已知,为线段的中点。
(1)求证:平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值。
正确答案
见解析。
解析
证明(1)连结和交于,连结, …………………………………………1分
为正方形,为中点,为中点,
,…………………………………………………………………………………3分
平面,平面
平面,…………………………………………………………………………4分
(2)平面,平面,,
为正方形,,平面,
平面,
平面, ……………………………………………………6分
以为原点,以为轴建立如图所示的坐标系,
则,,,
平面,平面,
,
为正方形,,
由为正方形可得:,
设平面的法向量为
,
由,令,则
……………………………………………………………………………8分
设平面的法向量为,
,
由 ,令,则,
……………………………………………………………………10分
设二面角的平面角的大小为,则
二面角的平面角的余弦值为 ……………………………………12分
知识点
如图5,在直三棱柱中,D、E分别是BC和的中点,已知AB=AC=AA1=4,BAC=90.
(1)求证:⊥平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求三棱锥的体积。
正确答案
见解析。
解析
依题意,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
因为=4,所以A(0,0,0),
B(4,0,0),E(0,4,2),D(2,2,0),
B1(4,0,4). (1分)
(1),,.
因为,所以,即.
因为,所以,即.
又AD、AE平面AED,且AD∩AE=A,故⊥平面.
(2)由(1)知为平面AED的一个法向量.
设平面 B1AE的法向量为,因为,,
所以由,得,令y=1,得x=2,z=-2.即.
∴,
∴二面角的余弦值为.
(3)由,,得,所以AD⊥DE.
由,,得.
由(1)得B1D为三棱锥B1-ADE的高,且,
所以.
方法二:
依题意得,平面ABC,,,
,.
(1)∵,D为BC的中点,∴AD⊥BC.
∵B1B⊥平面ABC,AD平面ABC,∴AD⊥B1B.
BC、B1B平面B1BCC1,且BC∩B1B=B,所以AD⊥平面B1BCC1.
又B1D平面B1BCC1,故B1D⊥AD .
由,,,
得,所以.
又AD、DE平面AED,且AD∩DE=E,故⊥平面.
(2)过D做DM⊥AE于点M,连接B1M.
由B1D⊥平面AED,AE平面AED,得AE ⊥B1D.
又B1D、DM平面B1DM,且B1D∩DM=D,故AE⊥平面B1DM.
因为B1M平面B1DM,所以B1M⊥AE.
故∠B1MD为二面角B1—AE—D的平面角.
由(1)得,AD⊥平面B1BCC1,又DE平面B1BCC1,所以AD⊥DE.
在Rt△AED中,,
在Rt△B1DM中,,
所以,即二面角B1—AE—D的余弦值为.
(3)由(1)得,AD⊥平面B1BCC1,
所以AD为三棱锥A-B1DE的高,且.
由(1)得.
故.
知识点
在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,//,,,。
(1)求证:平面;
(2)求与平面所成角的正弦值;
(3)线段上是否存在点,使平面平面?证明你的结论。
正确答案
见解析
解析
(1)证明:因为,,
在△中,由余弦定理可得 ,
所以 。 ………………2分
又因为 ,
所以平面。 ………………4分
(2)解:因为平面,所以。
因为,所以平面。 ………………5分
所以两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系。 ………………6分
在等腰梯形中,可得 。
设,所以。
所以 ,,。
设平面的法向量为,则有
所以 取,得。 ………………8分
设与平面所成的角为,则 ,
所以 与平面所成角的正弦值为。 ………………9分
(3)解:线段上不存在点,使平面平面。证明如下: ………………10分
假设线段上存在点,设 ,所以。
设平面的法向量为,则有
所以 取 ,得。 ………………12分
要使平面平面,只需, ………………13分
即 , 此方程无解。
所以线段上不存在点,使平面平面。 ………………14分
知识点
如图5,在四棱锥中,底面ABCD是边长为
2的菱形,且DAB=60. 侧面PAD为正三角形,其所在的平
面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.
(1)求证:BG平面PAD;
(2)求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值;
(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:连结BD.
因为ABCD为棱形,且∠DAB=60°,所以ABD为正三角形.
又G为AD的中点,所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BG⊥平面PAD.
(2)∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.
∵PG平面PAD,由(1)可得:PG⊥GB. 又由(1)知BG⊥AD.
∴PG、BG、AD两两垂直.
故以G为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
,
,
所以,, , ,
设平面PCD的法向量为, 即
令,则
又平面PBG的法向量可为,
设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为,则
∴
即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为.
(3)当F为PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.
取PC的中点F,连结DE,EF,DF,CG,且DE与CG相交于H.
因为E、G分别为BC、AD的中点,所以四边形CDGE为平行四边形,
故H为CG的中点. 又F为CP的中点,所以FH//PG.
由(2),得PG平面ABCD,所以FH平面ABCD.
又FH平面DEF,所以平面DEF⊥平面ABCD.
知识点
等边三角形ABC的边长为3,点D、E分别是边AB、AC上的点,且满足(如图1)。将折起到的位置,使二面角成直二面角,连结(如图2).
(1)求证:平面BCED;
(2)在线段BC上是否存在点P,使直线与平面所成的角为?若存在,求出PB的长,若不存在,请说明理由.
正确答案
见解析
解析
知识点
已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿直线BD将△BCD翻折成△BD,使得平面B平面ABD.
(1)求证:平面ABD;
(2)求直线BD与平面所成角的正弦值.
正确答案
见解析。
解析
知识点
如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=,∠BAD=90o,∠BCD=45o,E为对角线BD的中点.现将△ABD沿BD折起到△PBD的位 置,使平面PBD⊥平面BCD,如图2.
(1)求证直线PE⊥平面BCD;
(2)求异面直线BD和PC所成角的余弦值;
(3) 已知空间存在一点Q到点P,B,C,D的距离相等,写出这个距离的值(不用说明理由)。
正确答案
见解析
解析
知识点
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