热门试卷

（1）按如图所示建立空间直角坐标系，由题知，可得点、、

、、、，

于是，，

可算得，

因此，，

又，

所以，，

（2）设是平面的法向量，

∴

又，

∴　取，可得即平面的一个法向量是，

由（1）知，是平面的一个法向量，

记与的夹角为，则， ，

结合三棱柱可知，二面角是锐角，

∴所求二面角的大小是。

解法一：

（1）证明：延长交的延长线于点，连接.

∵∥，且，

∴为的中点.

∵为的中点，

∴∥.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角.

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.

∴当时，最大. 此时，.

∴.

∵∥，平面，

∴平面.

∵平面，平面，

∴，.

∴为平面 与平面所成二面角（锐角）.

在Rt△中，，.

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.

解法二：

（1）证明：取的中点，连接、.

∵为的中点，

∴∥，且.

∵∥，且，

∴∥，.

∴四边形是平行四边形。

∴∥.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角.

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.

∴当时，最大. 此时，.

∴.

在Rt△中，.

∵Rt△～Rt△，

∴，即.

∴.

以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，

建立空间直角坐标系.

则，，，.

∴，，.

设平面的法向量为，

由，，

得

令，则.

∴平面的一个法向量为.

∵平面，  ∴是平面的一个法向量。

∴.

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.