热门试卷

（1）因为　三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，

所以　 CC1⊥BC。                              ……………………1分

因为　AC=BC=2，，

所以　由勾股定理的逆定理知BC⊥AC。           ……………………2分

又因为AC∩CC1=C，

所以　BC⊥平面ACC1A1。                      ……………………3分

因为　AM平面ACC1A1，

所以　BC⊥AM。                              ……………………4分

（2）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP ，则

NP∥CC1，且∽。 ……………5分

于是有。

由已知，有。

因为　BB1=CC1。

所以　NP=CM。

所以　四边形MCNP是平行四边形。              ……………………6分

所以　CN//MP。                                ……………………7分

因为　CN平面AB1M，MP平面AB1M， 　     ……………………8分

所以　CN //平面AB1 M，　　　　                ……………………9分

（3）因为  BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，

所以  以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，…………………10分

因为  ，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，，，。    　　　　　　　　　　　 ……………………11分

设平面的法向量，则，。

即

令，则，即。    ……………………12分

又平面MB1C的一个法向量是，

所以  。          ……………………13分

由图可知二面角A-MB1-C为锐角，

所以  二面角A-MB1-C的大小为。            ……………………14分

(1)证明：依题意知，

又∥

又∵平面⊥平面，平面平面，

平面

(2)

如图,把四棱锥补成一个长方体，其中分别为

所在棱的中点,则易得∥，∥，所以就

是异面直线和所成的角

连结，在中，

在中，

在中，，

由余弦定理可得：

所以异面直线和所成的角的余弦值为。

(3) 解：假设在侧棱上存在一点，满足条件

∵

∴

又由知平面，又

。

设到平面的距离为，则

又，故

另解：

(Ⅰ)由知平面，如图，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则易得各点的坐标为故，设

是平面的一个法向量，由可得

由可得，，

又因为是平面的一个法向量，

所以平面⊥平面

(Ⅱ)由(Ⅰ)知的中点的坐标为故又

所以异面直线和所成的角的余弦值为。

（1）证明:在长方体中，

因为平面，所以。

因为，所以四边形为正方形，

因此，又，所以平面。

又，且，所以四边形为平行四边形。

又在上，所以平面。 ……………………4分

（2）取的中点为，连接。

因为为的中点，所以且，

因为为的中点，所以，而，且，

所以，且，因此四边形为平行四边形，

所以，而平面，所以平面，………………9分

（3）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，

则，

故。

由（1）可知平面，

所以是平面的一个法向量。

设平面的一个法向量为，

则，

所以

令，则，

所以。

设与所成的角为，则。

因为二面角的大小为，所以，即，

解得，即的长为1，………………………………14分

（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD。

又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，

所以BD⊥平面PAC，                                ………………………4分

（2）略

（3）由（2）知＝（－1，，0）。

设P（0，－，t）（t＞0），则＝（－1，－，t）。

设平面PBC的法向量m＝（x，y，z），则·m＝0，·m＝0。

所以令y＝，则x＝3，z＝，所以m＝。

同理，可求得平面PDC的法向量n＝。

因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0.解得：t＝。

所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA＝，        ……………………12分

（1）由已知得，                                 ………2分

所以 ，体积                           ………5分

（2）取中点，连接，则，

所以就是异面直线与所成的角.                       ………7分

由已知，，

.                                         ………10分

在中，，

所以，.                                                ………12分

（其他解法，可参照给分）

解析：

（1）∵点在底面上的射影落在上，∴平面，

平面，∴又∵∴，，

∴平面，

（2）以为原点，为x轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，

建立空间直角坐标系，则，，，，

，显然，平面

的法向量，

设平面的法向量为，

由，即，

∴，

∴二面角的大小是。   

：（1）

连接OC，由3AD=BD知，点D为AO的中点，

又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，

∵AC=BC，∴∠CAB=60°，

∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO。

∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，

∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，

∴PD⊥CD，PD∩AO=D，

∴CD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴PA⊥CD。

（2）

过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，

由（1）知CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，

∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，

∴PB⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，

∴CE⊥PB，

∴∠DEC为二面角C﹣PB﹣A的平面角。

由（1）可知CD=，PD=BD=3，

∴PB=3，则DE==，

∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，

∴cos∠DEC=，即二面角C﹣PB﹣A的余弦值为。