- 直线与平面垂直的判定与性质
- 共169题
如图所示,圆柱底面的直径长度为
,
为底面圆心,正三角形
的一个顶点
在上底面的圆周上,
为圆柱的母线,
的延长线交
于点
,
的中点为
.
(1) 求证:平面⊥平面
;
(2) 求二面角的正切值。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明: 正三角形中,
为
的中点, ∴
⊥
∵为圆柱的母线, ∴
⊥平面
,
而在平面
内 ∴
⊥
∵为圆O的直径,∴
°即
⊥
,∴
⊥平面
,
而在平面
内, ∴
⊥
,∴
⊥平面
,
而在平面
内,∴平面
⊥平面
(2) 由(1)知⊥
,
⊥
,同理
⊥
,
而,可证
≌
,
∴……8分
以为原点,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系
则
∵⊥平面
,∴
为平面
的一个法向量
设平面
的一个法向量,
则 即
,令
则
设二面角的平面角为
,
∴
∴,
所以二面角的正切值
知识点
已知四棱锥的底面
是直角梯形,
,
,侧面
为正三角形,
,
,如图所示。
(1) 证明:平面
;
(2) 求四棱锥的体积
。
正确答案
见解析
解析
(1) 直角梯形
的
,
,又
,
,
∴。
∴在△和△
中,有
,
。
∴且
。
∴。
(2)设顶点到底面
的距离为
,结合几何体,可知
。
又,
,
于是,,解得
。
所以。
知识点
如图,四边形中(图1),
是
的中点,
,
,
将(图1)沿直线
折起,使二面角
为
(如图2)
(1)求证:平面
;
(2)求异面直线与
所成角的余弦值;
(3)求点到平面
的距离。
正确答案
见解析。
解析
(1)如图取BD中点M,连接AM,ME。因
因 ,
满足:
,
所以是BC为斜边的直角三角形,
,
因是
的中点,所以ME为
的中位线
,
,
是二面角
的平面角
=
,
且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线
平面AEM
因,
为等腰直角三角形
,
(2)
如图,以M为原点MB为x轴,ME为y轴,建立空间直角坐标系,
则由(1)及已知条件可知B(1,0,0),,
,D
,C
设异面直线与
所成角为
,
则
由可知
满足,
是平面ACD的一个法向量,
记点到平面
的距离d,则
在法向量
方向上的投影绝对值为d
则 ……13分 所以d
(2),(3)解法二:
取AD中点N,连接MN,则MN是的中位线,MN//AB,又ME//CD
所以直线与
所成角为
等于MN与ME所成的角,
即或其补角中较小之一
,N为在
斜边中点
所以有NE=,MN=
,ME=
,
=
(3)记点到平面
的距离d,则三棱锥B-ACD的体积
,
又由(1)知AE是A-BCD的高、
E为BC中点,AEBC
又,
,
到平面
的距离
解法三:(1)因 ,
满足:
,
, 1分
如图,以D为原点DB为x轴,DC为y轴,建立空间直角坐标系,
则条件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0),, A(a,b,c) (由图知a>0,b>0,c>0)
得
平面BCD的法向量可取,
,所以平面ABD的一个法向量为
则锐二面角的余弦值
从而有,
所以
平面
(2)由(1),D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0),
设异面直线与
所成角为
,则
(3)由可知
满足,
是平面ACD的一个法向量,
记点到平面
的距离d,则
在法向量
方向上的投影绝对值为d
则
所以d
知识点
如图,在四棱锥中,侧面PCD⊥底面
,PD⊥CD,E为PC中点,底面
是直角梯形, AB∥CD,∠ADC=90°, AB=AD=PD=1,CD=2。
(1)求证:BE∥平面PAD;
(2)求证:BC⊥平面
(3)设Q为侧棱PC上一点,,试确定λ的值,使得二面角Q—BD—P的大小为45°
正确答案
见解析
解析
解析:(1)取的中点
,连结
,因为
为
中点,所以
,且
,在梯形
中,
,
,
所以,
,四边形
为平行四边形,所以
,
又因为平面
,
平面
,
所以平面
。
………4分
(2)平面
底面
,
,所以
平面
,所以
,如图,以
为原点建立空间直角坐标系
,则
,
,
,
。
。
所以,又由
平面
,可得
,所以
平面
。 ………8分
(3)平面的法向量为
,
,所以
,
设平面的法向量为
,由
,
,得
,
所以,所以
,
注意到,得
…………12分
知识点
如右图,简单组合体ABCDPE,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC.
(1)若N为线段PB的中点,求证:EN⊥平面PDB;
(2)若,求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小。
正确答案
见解析
解析
(1)证法1:连结AC与BD交于点F,连结NF,
∵F为BD的中点,∴NF∥PD且NF=PD.
又EC∥PD,且EC=PD,(2分)
∴NF∥EC,且NF=EC,∴四边形NFCE为平行四边形,∴NE∥FC.(4分)
∵DB⊥AC,PD⊥平面ABCD,AC⊂面ABCD,∴AC⊥PD.
又PD∩BD=D,∴AC⊥面PBD,∴NE⊥面PDB.(6分)
证法2:以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示:设该简单组合体的底面边长为1,PD=a,
则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,),N(,,),
∴=(,-,0),=(1,1,-a),=(1,1,0)。
∵·=×1-×1-a×0=0,·=×1-×1+0×0=0,
∴EN⊥PB,EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB,且PB∩DB=B,∴NE⊥面PDB.(6分)
(2)解法1:连结DN,由(1)知NE⊥面PDB,∴DN⊥NE.
∵,DB=AD,∴PD=DB,∴DN⊥PB,∴为平面PBE的法向量。
设AD=1,则N,∴
。
∵为平面ABCD的法向量,,(10分)
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ,则cosθ=,
∴θ=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)
解法2:延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB,
则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)
∵PD=2EC,∴CD=CG=CB,
∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上,
∴DB⊥BG.(9分)
∵PD⊥平面ABCD,BG⊂面ABCD,∴PD⊥BG,且PD∩DB=D,∴BG⊥面PDB.
∵PB⊂面PDB,∴BG⊥PB,∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)
在Rt△PDB中,∵PD=DB,
∴∠PBD=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)
知识点
如图,四棱锥,底面
为直角梯形,
,
,
,
是等腰直角三角形,
是
中点,
。
(1)证明:平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值。
正确答案
见解析
解析
证明:
(1)取中点
,连接
。∵
,
中点
,
∴。∵
是等腰直角三角形,
是
中点,
∴,
∥
。∵
,
,∴
,
平面
,
平面
,
∴平面
。
平面
,∴
。
∵平面
,
平面
,
和
相交,
∴平面
。
(2)解法一:
连接,由勾股定理可知
。
建立如图所示的空间直角坐标系,设=2,
则点,
,
,
,
设平面的法向量
,平面
的法向量
。
。
所以平面的一个法向量为
。
所以平面的一个法向量为
所以
解法二:
延长交于
,由(1)知
平面
,
过作
,交
于
,可得
平面
.
令,可求
连接
,过
作
交于
,可得
平面
,因为
所以
过作
,交
于
,连接
,可求
所以为所求二面角的平面角,
所以所以
知识点
如图,已知四棱锥,底面
是等腰梯形,且
∥
,
是
中点,
平面
,
,
是
中点。
(1)证明:平面平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值。
正确答案
见解析。
解析
(1) 证明:
且
∥
,…………2分
则平行且等于
,即四边形
为平行四边形,所以
.
…………6分
(2) 『解法1』:
延长、
交于点
,连结
,则
平面
,易证△
与△
全等,过
作
于
,连
,则
,由二面角定义可知,平面角
为所求角或其补角.
易求,又
,
,由面积桥求得
,所以
所以所求角为,所以
因此平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
『解法2』:
以为原点,
方向为
轴,以平面
内过
点且垂直于
方向为
轴 以
方向为
轴,建立如图所示空间直角坐标系.
则,
,
,
,
,…………8分
所以,
,
可求得平面的法向量为
又,
,
可求得平面的法向量为
则,
因此平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
. …………12分
知识点
如图,简单组合体ABCDPE,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC.
(1)若N为线段PB的中点,求证:EN⊥平面PDB;
(2)若=,求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小。
正确答案
见解析
解析
(1)证法1:连结AC与BD交于点F,连结NF,
∵F为BD的中点,∴NF∥PD且NF=PD.
又EC∥PD,且EC=PD,(2分)
∴NF∥EC,且NF=EC,∴四边形NFCE为平行四边形,∴NE∥FC.(4分)
∵DB⊥AC,PD⊥平面ABCD,AC⊂面ABCD,∴AC⊥PD.
又PD∩BD=D,∴AC⊥面PBD,∴NE⊥面PDB.(6分)
证法2:以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示:设该简单组合体的底面边长为1,PD=a,
则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,),N(,,),
∴=(,-,0),=(1,1,-a),=(1,1,0)。
∵·=×1-×1-a×0=0,·=×1-×1+0×0=0,
∴EN⊥PB,EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB,且PB∩DB=B,∴NE⊥面PDB.(6分)
(2)解法1:连结DN,由(1)知NE⊥面PDB,∴DN⊥NE.
∵=,DB=AD,∴PD=DB,∴DN⊥PB,∴为平面PBE的法向量。
设AD=1,则N(,,),∴=(,,)。
∵为平面ABCD的法向量,=(0,0,),(10分)
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ,则cosθ===,
∴θ=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)
解法2:延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB,
则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)
∵PD=2EC,∴CD=CG=CB,
∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上,
∴DB⊥BG.(9分)
∵PD⊥平面ABCD,BG⊂面ABCD,∴PD⊥BG,且PD∩DB=D,∴BG⊥面PDB.
∵PB⊂面PDB,∴BG⊥PB,∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)
在Rt△PDB中,∵PD=DB,
∴∠PBD=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)
知识点
在三棱锥中,底面
是以
为直角的等腰三角形.又
在底面
上的射影
在线段
上且靠近点
,
,
,
和底面
所成的角为
.
(1)求点到底面
的距离;
(2)求二面角的大小的正切值。
正确答案
(1)(2)
解析
解析:(1)∵在底面
上的射影
在线段
上且靠近点
,
∴底面
.连
,则
.设
,
为
的中点,
则,
.∴在
中,
.在
中,
.
在中,
,解得
.故点
到底面
的距离为
.
(2)∵,∴
.过
作
于
,连结
,则
为二面角
的平面角.∵
,∴
知识点
在几何体ABCDE中,AB=AD=BC=CD=2, ,且
平面
,平面
平面
.
(1)当平面
时,求
的长;
(2)当时,求二面角
的大小。
正确答案
见解析
解析
解:(1)设,如图,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,a),
取BD的中点T,连接CT,AT,则CTBD.
又平面BCD
平面ABD,
所以CT平面BCD,
所以CT//AE.
AB=AD=BC=CD=2,
,
所以CDCB,
,
C(1,1,
),
设平面CDE的法向量为,
则有,
.
AB//平面CDE,
即AE的长为.
(2)连接AC,当时,由(1)可知平面CDE的一个法向量
,
又BDAT,BD
AE,
BD
平面ACE,
平面ACE的一个法向量
二面角
的大小为
.
知识点
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