热门试卷

（1）证明： 正三角形中，为的中点， ∴⊥

∵为圆柱的母线， ∴⊥平面，

而在平面内  ∴⊥

∵为圆O的直径，∴°即 ⊥

，∴⊥平面，

而在平面内, ∴⊥

，∴⊥平面，

而在平面内，∴平面⊥平面

（2）   由（1）知⊥，⊥，同理⊥，

而，可证≌，

∴……8分

以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系

则

∵⊥平面，∴为平面的一个法向量

设平面的一个法向量，

则  即  ，令则

设二面角的平面角为，

∴

∴，

所以二面角的正切值

（1） 直角梯形的，，又，，

∴。

∴在△和△中，有，。

∴且。

∴。

（2）设顶点到底面的距离为，结合几何体，可知。

又，，

于是，，解得。

所以。

（1）如图取BD中点M，连接AM，ME。因  

因 ， 满足：,

所以是BC为斜边的直角三角形，,

因是的中点,所以ME为的中位线 ，

,                                             

是二面角的平面角=                  

,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线

平面AEM                   

因,为等腰直角三角形，

（2）

如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，

则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),，

,D,C

设异面直线与所成角为,

则  

由可知满足，

是平面ACD的一个法向量,                 

记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d

则  ……13分   所以d       

（2），（3）解法二：

取AD中点N，连接MN,则MN是的中位线,MN//AB,又ME//CD

所以直线与所成角为等于MN与ME所成的角，

即或其补角中较小之一                                        

，N为在斜边中点

所以有NE=,MN=,ME=,

=                  

(3)记点到平面的距离d，则三棱锥B-ACD的体积,   

又由（1）知AE是A-BCD的高、 

E为BC中点，AEBC 又, ,

 到平面的距离

解法三：（1）因 ， 满足：, , 1分

如图，以D为原点DB为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，       

则条件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，, A(a,b,c)  (由图知a>0,b>0,c>0) 

得 

平面BCD的法向量可取,

，所以平面ABD的一个法向量为     

则锐二面角的余弦值 

从而有,              

所以平面       

（2）由（1），D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，

设异面直线与所成角为,则 

（3）由可知满足，

是平面ACD的一个法向量,                  

记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d

则 

 所以d

解析：（1）取的中点，连结，因为为中点，所以，且

，在梯形中，，，

所以，，四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面。                           ………4分

（2）平面底面，，所以平面，所以，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，。。

所以，又由平面，可得，所以平面。            ………8分

（3）平面的法向量为，

，所以，

设平面的法向量为，由，，得，

所以，所以，

注意到，得                                   …………12分

（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，

∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF＝PD.

又EC∥PD，且EC＝PD，(2分)

∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC.(4分)

∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD，∴AC⊥PD.

又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB.(6分)

证法2：以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：设该简单组合体的底面边长为1，PD＝a，

则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)，N(，，)，

∴＝(，－，0)，＝(1,1，－a)，＝(1,1,0)。

∵·＝×1－×1－a×0＝0，·＝×1－×1＋0×0＝0，

∴EN⊥PB，EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB，且PB∩DB＝B，∴NE⊥面PDB.(6分)

（2）解法1：连结DN，由(1)知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE.

∵，DB＝AD，∴PD＝DB，∴DN⊥PB，∴为平面PBE的法向量。

设AD＝1，则N，∴。

∵为平面ABCD的法向量，，(10分)

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则cosθ＝，

∴θ＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解法2：延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，

则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)

∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB，

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，

∴DB⊥BG.(9分)

∵PD⊥平面ABCD，BG⊂面ABCD，∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，∴BG⊥面PDB.

∵PB⊂面PDB，∴BG⊥PB，∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)

在Rt△PDB中，∵PD＝DB，

∴∠PBD＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

证明：

（1）取中点，连接。∵，中点，

∴。∵是等腰直角三角形，是中点，

∴，∥。∵,,∴

，平面，平面，

∴平面。平面，∴。

∵平面，平面，和相交，

∴平面。 

（2）解法一：

连接，由勾股定理可知。

建立如图所示的空间直角坐标系，设=2，

则点，，，，

设平面的法向量，平面的法向量。

。

所以平面的一个法向量为。

所以平面的一个法向量为           

所以           

解法二：

延长交于，由(1)知平面,

过作，交于,可得平面.

令，可求连接,过作

交于，可得平面,因为所以

过作,交于，连接,可求

所以为所求二面角的平面角，                    

所以所以       

(1) 证明： 且∥，…………2分

则平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.

                    …………6分

(2) 『解法1』：

延长、交于点，连结，则平面，易证△与△全等，过作于，连，则，由二面角定义可知，平面角为所求角或其补角.

易求，又，，由面积桥求得，所以

所以所求角为，所以

因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为

『解法2』：

以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴    以方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，

       ，，…………8分

所以，，

可求得平面的法向量为

又，，

可求得平面的法向量为

则，

因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为.          …………12分

（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，

∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF＝PD.

又EC∥PD，且EC＝PD，(2分)

∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC.(4分)

∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD，∴AC⊥PD.

又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB.(6分)

证法2：以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：设该简单组合体的底面边长为1，PD＝a，

则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)，N(，，)，

∴＝(，－，0)，＝(1,1，－a)，＝(1,1,0)。

∵·＝×1－×1－a×0＝0，·＝×1－×1＋0×0＝0，

∴EN⊥PB，EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB，且PB∩DB＝B，∴NE⊥面PDB.(6分)

（2）解法1：连结DN，由(1)知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE.

∵＝，DB＝AD，∴PD＝DB，∴DN⊥PB，∴为平面PBE的法向量。

设AD＝1，则N(，，)，∴＝(，，)。

∵为平面ABCD的法向量，＝(0,0，)，(10分)

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则cosθ＝＝＝，

∴θ＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解法2：延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，

则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)

∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB，

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，

∴DB⊥BG.(9分)

∵PD⊥平面ABCD，BG⊂面ABCD，∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，∴BG⊥面PDB.

∵PB⊂面PDB，∴BG⊥PB，∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)

在Rt△PDB中，∵PD＝DB，

∴∠PBD＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解析：（1）∵在底面上的射影在线段上且靠近点,

∴底面.连,则.设,为的中点,

则,.∴在中,.在中,.

在中,,解得.故点到底面的距离为.

（2）∵,∴.过作于,连结,则为二面角 的平面角.∵,∴