热门试卷

（1）证明：取中点O，连PO、AO.

由PB=PD=,BD=2可知为等腰直角三角形，

则而PA=，故，     

又，则，

故面                             

（2）如图，按建立坐标系，则，，，设面PAB的法向量为，

由，得：

，

令，则   

又，

则

设平面PBC的法向量为，由

，，

令则.                     

则，.      

则.

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为-

（1）因为侧面,侧面，故,

在中, 由余弦定理得：

，

所以，  ……3 分

故,所以,而平面.……5分

（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为

 轴建立空间直角坐标系.  则，,. ……7分

所以,所以,

则.设平面的法向量为，

则由,得,即，

令，则是平面的一个法向量.……10分

侧面,是平面的一个法向量，

.

两边平方并化简得，

所以=1或（舍去）.…………12分

【方法一】（1）证明：由题意知 则

   （4分）

（2）∵∥，又平面.

∴平面平面.

过作//交于

过点作交于,则

∠为直线与平面所成的角。

在Rt△中，∠，，

∴，∴∠.

即直线与平面所成角为.  （8分）

（3）连结，∵∥，∴∥平面.

又∵∥平面，

∴平面∥平面，∴∥.

又∵

∴∴，即 （12分）

【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（1）设，则，

∵，∴.　（4分）

（2）由（1）知.

由条件知A（1，0，0），B（1，，0），

.

设，

则

 即直线为.  （8分）

（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则

，，，，

而，所以，

=

设为平面PAB的法向量，则，即，即.

  进而得，

由,得∴

（12分）

解法一：（1）由于平面平面，

所以面，所以。

而是菱形，因此，所以平面

（2）设，作于，连接，

由（1）知平面，即平面，所以

又于，因此，所以为二面角的平面角

在中，，，故直角边，

又因为中斜边 因此中斜边，

所以，所以所求余弦值为。

解法二：如图，取的中点，则

因为，所以，又平面

以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

（1），，， 由 知， 

又，从而平面；

（2）由（1）知平面的一个法向量为，

再设平面的法向量为，，，

所以，设，则，

故因此所求余弦值为。

解析：解法一：

（1）设，连接,

分别是、的中点，则，                                           ……1分

已知平面，平面，所以平面平面，

又，为的中点，则，

而平面，所以平面，

所以平面，

又平面，所以；                                                    ……3分

在中，，；

又，所以平面，

又平面，所以.                                                         ……6分

（2）在平面内过点作交的延长线于，连接，，

因为平面，

所以平面，

平面平面，

所以平面，

平面，所以；

在中，，是中点，

故；

所以平面，则。

所以是二面角的平面角。

……10分

设，

而，

，则，

所以二面角的余弦值为，                                                    ……12分

解法二：

（1）因为平面，平面，所以平面平面，

又，是的中点，则，且平面，

所以平面，                                                                              ……2分

如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。

                  ……4分

，，所以，……6分

（2），，

设平面的法向量为，

则

令，得，       ……8分

又，，

所以平面的法向量，                                                  ……10分

，

所以二面角的余弦值为，                                                    ……12分

（1）连接，交于，因为四边形为菱形，，所以

因为、都垂直于面,，又面∥面,

所以四边形为平行四边形 ,则………………………………………2分

因为、、都垂直于面,则

…4分

所以

所以为等腰直角三角形          ………………………………………………………5分

（2）取的中点，因为分别为的中点，所以∥

以分别为轴建立坐标系，

则

所以 ……………………7分

设面的法向量为，

则，即且

令，则 ……………………………………………………………………9分

设面的法向量为，

则即且

令，则  …………………………………………………………11分

则,则二面角的余弦值为 …………12分

（1）M为PC的中点，设PD中点为N，

则MN=CD，且MN//CD，∴MN=AB，MN//AB

∴ABMN为平行四边形，∴BM//AN，

又PA＝AD，∠PAD＝90○

∴AN⊥PD，

又CD⊥AN，

∴AN⊥面PCD，

∴BM⊥面PCD

（2）延长CB交DA于E，

∵AB＝CD，

AB//CD

∴AE＝AD＝PA，∴PD⊥PE

又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，

∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角；PD＝AD，CD＝2AD；

∴tan∠CPD＝

（1）证明：底面，

又，，故面面，故……………………………   4分

又， 是的中点，故

从而面，故

易知，

故面……………………………… 6分

（2）如图建立空间直角坐标系，设，则、、、，，从而，，…8分

设为平面的法向量，

则可以取  ……………………9分

又为平面的法向量，若二面角的平面角为

则  ……………………11分

因此。……………………12分

（1）连接HC，交ED于点N，连结GN，

由条件得：DHEC是矩形，∴N是线段HC的中点，又G是PC的中点，

∴ GN//PH，                                       

又 ∵ GN平面GED，PH不在平面GED内，               

∴ PH//平面GED.                                         

（2） 方法1：连结AE，∵， ∴ △ABE是等边三角形，设BE的中点为M，以AM、AD、AP分别为轴建立空间直角坐标系。

则B(,,0)， C(,,０)，D(0，2，0)，P(0，0，)，

则E(,,0)， F(,,)，Ｇ(,,)。

设Q(0，0，) ，，.            

设是平面GED的一个法向量，

则，得，

令∴.                                

设是平面的一个法向量，

则，得，令，得

，                               

当平面GED⊥平面时，，

得，则PQ的长为.      

方法2：

连接BH，则BH//ED，又∵PB//GE，∴平面PBH//平面GED，

设BH与AE交于点K，PK的中点为M，

∵F是PB的中点，∴FM//BK，

∵ABEH是菱形，∴AE⊥BK，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BK ，∴ BK⊥平面PAK.

∴ FM⊥平面PAK，

过M作MQ⊥PK，交PA于Q，设MQ与FM所确定的平面为，

∵ED//BH// FM，∴ED//平面，又平面⊥平面PBH，∴平面⊥平面EDG .

得平面满足条件.                                           

∵，，∴，

由，

得.