热门试卷

证明：

（1）取中点，连接。∵，中点，

∴。∵是等腰直角三角形，是中点，

∴，∥。∵,,∴

，平面，平面，

∴平面。平面，∴。

∵平面，平面，和相交，

∴平面。 

（2）解法一：

连接，由勾股定理可知。

建立如图所示的空间直角坐标系，设=2，

则点，，，，

设平面的法向量，平面的法向量。

。

所以平面的一个法向量为。

所以平面的一个法向量为           

所以           

解法二：

延长交于，由(1)知平面,

过作，交于,可得平面.

令，可求连接,过作

交于，可得平面,因为所以

过作,交于，连接,可求

所以为所求二面角的平面角，                    

所以所以       

(1) 证明： 且∥，…………2分

则平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.

                    …………6分

(2) 『解法1』：

延长、交于点，连结，则平面，易证△与△全等，过作于，连，则，由二面角定义可知，平面角为所求角或其补角.

易求，又，，由面积桥求得，所以

所以所求角为，所以

因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为

『解法2』：

以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴    以方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，

       ，，…………8分

所以，，

可求得平面的法向量为

又，，

可求得平面的法向量为

则，

因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为.          …………12分

（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，

∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF＝PD.

又EC∥PD，且EC＝PD，(2分)

∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC.(4分)

∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD，∴AC⊥PD.

又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB.(6分)

证法2：以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：设该简单组合体的底面边长为1，PD＝a，

则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)，N(，，)，

∴＝(，－，0)，＝(1,1，－a)，＝(1,1,0)。

∵·＝×1－×1－a×0＝0，·＝×1－×1＋0×0＝0，

∴EN⊥PB，EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB，且PB∩DB＝B，∴NE⊥面PDB.(6分)

（2）解法1：连结DN，由(1)知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE.

∵＝，DB＝AD，∴PD＝DB，∴DN⊥PB，∴为平面PBE的法向量。

设AD＝1，则N(，，)，∴＝(，，)。

∵为平面ABCD的法向量，＝(0,0，)，(10分)

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则cosθ＝＝＝，

∴θ＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解法2：延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，

则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)

∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB，

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，

∴DB⊥BG.(9分)

∵PD⊥平面ABCD，BG⊂面ABCD，∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，∴BG⊥面PDB.

∵PB⊂面PDB，∴BG⊥PB，∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)

在Rt△PDB中，∵PD＝DB，

∴∠PBD＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解析：（1）∵在底面上的射影在线段上且靠近点,

∴底面.连,则.设,为的中点,

则,.∴在中,.在中,.

在中,,解得.故点到底面的距离为.

（2）∵,∴.过作于,连结,则为二面角 的平面角.∵,∴