热门试卷

（1）证明：取中点O，连PO、AO.

由PB=PD=,BD=2可知为等腰直角三角形，

则而PA=，故，     

又，则，

故面                             

（2）如图，按建立坐标系，则，，，设面PAB的法向量为，

由，得：

，

令，则   

又，

则

设平面PBC的法向量为，由

，，

令则.                     

则，.      

则.

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为-

（1）因为侧面,侧面，故,

在中, 由余弦定理得：

，

所以，  ……3 分

故,所以,而平面.……5分

（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为

 轴建立空间直角坐标系.  则，,. ……7分

所以,所以,

则.设平面的法向量为，

则由,得,即，

令，则是平面的一个法向量.……10分

侧面,是平面的一个法向量，

.

两边平方并化简得，

所以=1或（舍去）.…………12分

【方法一】（1）证明：由题意知 则

   （4分）

（2）∵∥，又平面.

∴平面平面.

过作//交于

过点作交于,则

∠为直线与平面所成的角。

在Rt△中，∠，，

∴，∴∠.

即直线与平面所成角为.  （8分）

（3）连结，∵∥，∴∥平面.

又∵∥平面，

∴平面∥平面，∴∥.

又∵

∴∴，即 （12分）

【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（1）设，则，

∵，∴.　（4分）

（2）由（1）知.

由条件知A（1，0，0），B（1，，0），

.

设，

则

 即直线为.  （8分）

（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则

，，，，

而，所以，

=

设为平面PAB的法向量，则，即，即.

  进而得，

由,得∴

（12分）

解析：解法一：

（1）设，连接,

分别是、的中点，则，                                           ……1分

已知平面，平面，所以平面平面，

又，为的中点，则，

而平面，所以平面，

所以平面，

又平面，所以；                                                    ……3分

在中，，；

又，所以平面，

又平面，所以.                                                         ……6分

（2）在平面内过点作交的延长线于，连接，，

因为平面，

所以平面，

平面平面，

所以平面，

平面，所以；

在中，，是中点，

故；

所以平面，则。

所以是二面角的平面角。

……10分

设，

而，

，则，

所以二面角的余弦值为，                                                    ……12分

解法二：

（1）因为平面，平面，所以平面平面，

又，是的中点，则，且平面，

所以平面，                                                                              ……2分

如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。

                  ……4分

，，所以，……6分

（2），，

设平面的法向量为，

则

令，得，       ……8分

又，，

所以平面的法向量，                                                  ……10分

，

所以二面角的余弦值为，                                                    ……12分