直线与平面垂直的判定与性质
共169题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

16.如图，在三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，点分别为和的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面.

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：在中，

在中，.

，即为等腰三角形.

又点为的中点，.

又四边形为正方形，为的中点，

，平面，平面

平面

（2）证明：连接

由题意知，点分别为和的中点，.

又平面，平面，

平面.

知识点

直线与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

19．如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，是侧棱上的动点.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）试求三棱锥的体积取得最大值时的值；

（Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值.

正确答案

（Ⅰ）证法一：∵面，∴，.

又∵，∴四边形是正方形，

∴.

∵，

∴.

又∵, ∴.

∵,

∴.

证法二：

∵面，∴，.

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，

，

∴，

∴.

又∵

∴.

证法三：

∵面，∴，.

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则,

设平面的法向量，

则，解得.

令，则，

∵, ∴.

（Ⅱ）∵，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离

∴,

，

令，得（舍去）或，

得

∴当时，.

（Ⅲ）

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则,

，

，.

设平面的法向量，

则，解得,

令，则.

设平面的法向量，

则.

由于，所以解得.

令，则.

设二面角的平面角为，

则有.

化简得,解得（舍去）或.

所以当时，二面角的平面角的余弦值为.

解析

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．

（1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．

正确答案

解析

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 13 分

17．如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。

（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；

（Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°。

正确答案

解析

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知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 5 分

选做题（14、15题,只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14.（参数方程与极坐标）

已知在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数且），在以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线的极坐标方程为，则曲线与交点的直角坐标为__________．

15.（几何证明选讲）

如图，切圆于点,交圆于两点，且与直径交于点，若，则___________．

正确答案

14.

15. 15

解析

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