直线与平面垂直的判定与性质
共169题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

18．如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上．

（1）求证：平面平面；

（2）当，且时，确定点的位置，即求出的值．

（3）在（2）的条件下若F是PD的靠近P的一个三等分点，求二面角A-EF-D的余弦值．

正确答案

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 13 分

21．如图所示，在三棱锥中，平面，且垂足在棱上，，，，。

（1）证明为直角三角形；

（2）求直线与平面所成角的正弦值。

正确答案

（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系

则，，

于是，

因为

，

为直角三角形

（2）由（1）可得，

于是，

，

设平面的法向量为

则即取，则，

平面的一个法向量为

设直线与平面所成的角为，

则,

直线与平面所成角的大小为

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）证明：BN⊥平面C1B1N；

（2）求二面角的正弦值

正确答案

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知识点

简单空间图形的三视图直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 4 分

13．如图，半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是_____________．（用表示）

正确答案

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知识点

球面距离及相关计算直线与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，面面，△是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，其中，，，

（1）求证：；

（2）求直线与直线所成角的大小．

正确答案

（1）因为，且是中点，所以，又，所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又不在平面且平面，

故平面，

（2），直线与所成角即为与所成角．

设，则由题意知，，又，故

为等腰直角三角形，且，为中点，

且

又平面平面，面

在中，，故与所成角为

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．四棱锥中，平面，是棱上的动点，已知四边形为正方形，边长为，．

（1）求四棱锥的体积

（2）不论点在何位置，是否都有，试证明你的结论；

（3）若，求二面角的余弦值．

正确答案

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棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知三棱锥中，，，，为上一点，，、分别为、的中点．

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的大小．

正确答案

设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示：

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0, ），N（ ,0,0），S（1, ,0）

（1），

因为，

所以CM⊥SN

（2）, 设为平面CMN的一个法向量，

则，令，得

因为

所以SN与片面CMN所成角为45°。

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直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 13 分

18．如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面

所成角为.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论。

正确答案

(Ⅰ)

证明：因为平面，所以.

因为是正方形，所以，又相交

从而平面.

(Ⅱ)因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示. 因为与平面所成角为，

即，

所以.由可知，.

则，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则.

因为平面，所以为平面的法向量，，

所以.

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）点是线段上一个动点，设. 则，

因为平面，所以,

即，解得.

此时，点坐标为，，符合题意.

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直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA = 1，PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．

（Ⅰ）求证：PA 平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

正确答案

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直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，在侧棱垂直于底面的四棱柱中，，是的中点，是平面与直线的交点。

（1）证明：；

（2）证明：平面；

（3）求与平面所成的角的正弦值。

正确答案

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知识点

平行关系的综合应用直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

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