直线与平面垂直的判定与性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

18．如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上．

（1）求证：平面平面；

（2）当，且时，确定点的位置，即求出的值．

（3）在（2）的条件下若F是PD的靠近P的一个三等分点，求二面角A-EF-D的余弦值．

正确答案

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 13 分

21．如图所示，在三棱锥中，平面，且垂足在棱上，，，，。

（1）证明为直角三角形；

（2）求直线与平面所成角的正弦值。

正确答案

（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系

则，，

于是，

因为

，

为直角三角形

（2）由（1）可得，

于是，

，

设平面的法向量为

则即取，则，

平面的一个法向量为

设直线与平面所成的角为，

则,

直线与平面所成角的大小为

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）证明：BN⊥平面C1B1N；

（2）求二面角的正弦值

正确答案

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知识点

简单空间图形的三视图直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．四棱锥中，平面，是棱上的动点，已知四边形为正方形，边长为，．

（1）求四棱锥的体积

（2）不论点在何位置，是否都有，试证明你的结论；

（3）若，求二面角的余弦值．

正确答案

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知三棱锥中，，，，为上一点，，、分别为、的中点．

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的大小．

正确答案

设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示：

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0, ），N（ ,0,0），S（1, ,0）

（1），

因为，

所以CM⊥SN

（2）, 设为平面CMN的一个法向量，

则，令，得

因为

所以SN与片面CMN所成角为45°。

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