直线与平面垂直的判定与性质
共169题

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题型：填空题

填空题 · 4 分

13．如图，半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是_____________．（用表示）

正确答案

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知识点

球面距离及相关计算直线与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，面面，△是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，其中，，，

（1）求证：；

（2）求直线与直线所成角的大小．

正确答案

（1）因为，且是中点，所以，又，所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又不在平面且平面，

故平面，

（2），直线与所成角即为与所成角．

设，则由题意知，，又，故

为等腰直角三角形，且，为中点，

且

又平面平面，面

在中，，故与所成角为

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

18．如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面

所成角为.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论。

正确答案

(Ⅰ)

证明：因为平面，所以.

因为是正方形，所以，又相交

从而平面.

(Ⅱ)因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示. 因为与平面所成角为，

即，

所以.由可知，.

则，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则.

因为平面，所以为平面的法向量，，

所以.

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）点是线段上一个动点，设. 则，

因为平面，所以,

即，解得.

此时，点坐标为，，符合题意.

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知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA = 1，PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．

（Ⅰ）求证：PA 平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

正确答案

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知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，在侧棱垂直于底面的四棱柱中，，是的中点，是平面与直线的交点。

（1）证明：；

（2）证明：平面；

（3）求与平面所成的角的正弦值。

正确答案

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知识点

平行关系的综合应用直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

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