热门试卷

（1）在区间上, .          ……………………1分

①若,则,是区间上的减函数；     ……………3分

②若,令得.

在区间上, ,函数是减函数;

在区间上, ,函数是增函数;

综上所述，①当时,的递减区间是，无递增区间；

②当时，的递增区间是，递减区间是.     …………6分

（2）因为函数在处取得极值，所以

解得，经检验满足题意.                                     …………7分

由已知则       …………………8分

令，则      …………………10分

易得在上递减，在上递增，              …………………12分

所以，即。                   …………13分

(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，

因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC。

由已知，AB＝AC，D是BC的中点，

所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD。

因为AA1⊥平面ABC，

所以AA1⊥直线l.

又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，

所以直线l⊥平面ADD1A1.

(2)解法一：

连接A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，连接AF.

由(1)知，MN⊥平面AEA1，

所以平面AEA1⊥平面A1MN.

所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE.

所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.

故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)。

设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.

又P为AD的中点，

所以M为AB中点，且AP＝，AM＝1，

所以，在Rt△AA1P中，A1P＝；在Rt△A1AM中，A1M＝.

从而，

.

所以sin θ＝.

所以cos θ＝.

故二面角A－A1M－N的余弦值为.

解法二：设A1A＝1.如图，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)。

则A1(0,0,0)，A(0,0,1)。

因为P为AD的中点，

所以M，N分别为AB，AC的中点。

故M，N.

所以＝，＝(0,0,1)，＝(，0,0)。

设平面AA1M的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则即

故有

从而

取x1＝1，则y1＝，

所以n1＝(1，，0)。

设平面A1MN的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

则即

故有

从而

取y2＝2，则z2＝－1，所以n2＝(0,2，－1)。

设二面角A－A1M－N的平面角为θ，

又θ为锐角，

则cos θ＝

＝.

故二面角A－A1M－N的余弦值为.