热门试卷

解析：依题意知：，设点的坐标为，则：

，所以，点的坐标为

（4分）

（1）

（6分）

由可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为（8分）

（2）由三点共线的（10分）

，

（12分）

（1）F（x）＝－lnx－＋1，则F′(x)＝

当x∈（0，1）时F′（x）＞0，x∈（1，＋∞）时F′（x）＜0

∴F（x）在（0，1）递增，在（1，＋∞）递减，

F（x）max＝F（0）＝0；∴当 时，f (x)≤g(x) 恒成立， 即  时 lnx≥1－恒成立。∴f (x2) －f (x1)＝ln ≥1－＝－（x2－x1）＝f′(x1)（x2－x1）

（2）证明：设λ1＞0，λ2＞0且λ1＋λ2＝1　　　　　令x3＝λ1 x1＋λ2 x2，则 且

x1－x3＝λ2（x1－x2）　　x2－x3＝λ1（x2－x1）

由（1）知f (x1) －f (x3) ≥f′(x3)( x1－x3) ＝λ2 f′(x3)( x1－x2) ………①

f (x2) －f (x3) ≥f′(x3)( x2－x3) ＝λ1 f′(x3)( x2－x1)  ………②

①×λ1＋②×λ2，得

λ1 f (x1) ＋λ2 f (x2) －（λ1＋λ2）f (x3) ≥λ1λ2 f′(x3) ( x1－x2)＋λ1λ2 f′(x3)( x2－x1)＝0

∴λ1 f (x1) ＋λ2 f (x2) ≥（λ1＋λ2）f (x3) ＝f (x3) ＝f（λ1 x1＋λ2 x2）…………8分

猜想：λi＞0，xi＞0（i＝1，2，…n）且λ1＋λ2＋ λn＝1时有

λ1 f (x1) ＋λ2 f (x2) ＋…＋λn f (xn) ≥f（λ1 x1＋λ2 x2＋…＋λn xn）…………9分

（3）证明：令λi＝

则有λ1＋λ2＋…＋λn＝1           由猜 想结论得：

＋＋…＋

≥－ln（＋＋…＋）

＝－ln＝ln

∴a1lna1＋a2lna2＋…＋anlnan≥(a1＋a2＋…＋an) ln

即≥     …………14分

法2：令 ，可证明得： ，

即 对任意 恒成立。分别令 可得：

a1lna1＋a2lna2＋…＋anlnan≥ 。再令     可得证

解：（1），则，，又，

…………2分

（2）令，则

，…3分

令，得，且，

当为正偶数时，随的变化，与的变化如下：

所以当时，极大=；当时，极小=0，…………7分

当为正奇数时，随的变化，与的变化如下：

所以当时，极大=；无极小值，…………10分

（3）由（1）知，，即，

所以方程为，…………11分

，…………12分

又，而对于，有（利用二项式定理可证），

。…………13分

综上，对于任意给定的正整数，方程只有唯一实根，且总在区间内，所以原方程在区间上有唯一实根，…………14分