· 函数概念与表示

· 函数的概念及其构成要素

函数的概念及其构成要素
共2084题

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1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量且m//n.

（1）求角A的大小；

（2）求函数的值域.

正确答案

见解析。

解析

（1）因为m//n.，所以，，由正弦定理，得：

，

所以

即，

所以，sin(A+C)＝2sinBcosA

又A＋B＋C＝，所以，sinB＝2sinBcosA，因为0＜C＜，所以sinB＞0，

所以cosA＝，又0＜A＜，所以A＝。

（2）在锐角三角形ABC中，A＝。故＜B＜，

y＝2sin2B＋cos（－2B）＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B

＝1＋sin2B－cos2B＝1＋sin（2B－）

因为＜B＜，所以，＜2B－＜

所以，＜sin（2B－）≤1，

所以，函数的值域.为（，2］

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数,,.

（1）若是函数的极大值点,求的值；

（2）在（1）的条件下，若函数在内存在单调递减区间，求的

取值范围；

（3）若，且，求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）

令，则或

当时，在附近有；当时，在附近有

∴ 是函数的极小值点

当时，在附近有；当时，在附近有

∴ 是函数的极大值点

∴

（2）由（1）可知， ∴

∵ 函数在内存在单调递减区间

∴ 在内有解，即在内有解

∵ 函数在内单调递增，

∴ 在内

∴ 函数在内存在单调递减区间时，

（3）不妨设，则原式即证

∵ ，两边同除以得，

令，则原式即证

下面进行证明。设

∴

令，∵ ，则

∴ 函数是增函数，∴

∴

∴ 函数是增函数

∴ ∴

∴ 综上，成立

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知: 、是坐标平面上的点，是坐标原点.

（1）若点的坐标是，求的值；

（2）设函数，求的值域。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知可得 3分

所以.6分

（2） 9分

因为，则，所以.

故的值域是. 12分

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

在中，内角的对边分别为，若。

（1）求的大小；

（2）若，求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）∵,

∴ ∴

∵ 是三角形内角 ∴ ∴ …

（2）∵ ∴

∵ ∴

∴

∵

∴

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数 (R)。

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解：（1）当a=-3时，

（2） ∵ = ，

∴△= = .

① 若a≥1，则△≤0，

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上单调递增 .

∵f（0），,

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，

② 若a＜1，则△＞0，

∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1<x2）。

∴x1+x2 = 2，x1x2 = a，

当变化时，的取值情况如下表：

∵,

∴.

∴

.

同理.

∴

.

令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞。

而当时,,

故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点。

综上所述，a的取值范围是

知识点

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