函数的概念及其构成要素
共2084题

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函数的概念及其构成要素
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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数的部分图像如图，令则。

正确答案

解析

由图象可知，T=，解得T=π，故有。

函数的图象过点（，1）故有1=sin（2×+φ），|φ|＜，故可解得φ=，从而有f（x）=sin（2x+）。a1=sin（2×+）=1，a2=sin（2×+）=

a3=sin（2×+）=﹣，a4=sin（2×+）=﹣1

a5=sin（2×+）=﹣，a6=sin（2×+）=

a7=sin（2×+）=1，a8=sin（2×+）=…

观察规律可知an的取值以6为周期，且有一个周期内的和为0，且2014=6×335+4，

所以有：a2014=sin（2×+）=﹣1。

则a1+a2+a3+…+a2014=a2011+a2012+a2013+a2014=1+=0，故答案为：0。

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

函数的图像的一条对称轴为,则以为方向向量的直线的倾斜角为。

正确答案

解析

，

因为此函数图像的一条对称轴为，所以，

所以，所以以为方向向量的直线的倾斜角为。

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数的图象在处的切线与直线平行。

（1）求实数的值；

（2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）设常数，数列满足（），。

求证：。

正确答案

见解析

解析

（1），

（2）由（1），

设，得，

，

（3）证明：由

当x>0时，

由

当n=1时，

结论成立

对

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数，＝－2＋4，若对任意∈（0，2），存在∈[1，2]，使）≥，则实数b的取值范围是（）

B[1，＋∞]

D[2，＋∞]

正确答案

解析

，令f ′（x）＝0得x1＝1，x2＝3∉（0，2），当x∈（0，1）时，f ′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，2）时，f ′（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以f（x）在（0，2）上的最小值为，由于“对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）”等价于“g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值”，（*）又g（x）＝（x－b）2＋4－b2，x∈[1，2]，所以

①当b＜1时，因为[g（x）]min＝g（1）＝5－2b＞0，此时与（*）矛盾；②当b∈[1，2]时，因为[g（x）]min＝4－b2≥0，此时与（*）矛盾；③当b∈（2，＋∞）时，因为[g（x）]min＝g（2）＝8－4b，解不等式，可得。

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数。

（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；

（2）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；

（3）如果函数恰有两个不同的极值点，，证明：

正确答案

见解析。

解析

（1）∵，∴ ，于是由题知1-a=2，解得a=-1。

∴ ，∴ ，于是1=2×0+b，解得b=1。

（2）由题意即恒成立，∴ 恒成立。

设，则。

∴ h（x）min=h（0）=1，∴ a<1。

（3）由已知，

∴ ，∵ x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1<x2），

∴ a>0（若a≤0时，，即g（x）是R上的增函数，与已知矛盾），且，，∴ ，。

两式相减得：，

于是要证明，即证明，

两边同除以，即证，即证（x1-x2）>，

即证（x1-x2）->0，令x1-x2=t，t<0，即证不等式当t<0时恒成立。

设，∴ 。

∵ 由（2）知，即，∴ （t）<0，

∴ （t）在t<0时是减函数，∴ （t）在t=0处取得极小值（0）=0。

∴ （t）>0，得证，∴

知识点

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