热门试卷

解析：（1）因为f′(x)＝x2－a，

当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1.

又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意。

（2）当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)成立，

所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1，

当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－，x2＝，

当0＜a＜1时，＜1，

x∈(0，)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

x∈(，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

所以f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－.

当a≥1时，≥1，

x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.

综上所述，

当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1；

当0＜a＜1时，f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－；

当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.

（3）因为∀m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，

所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，

只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，

而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，

所以－a＞－1，即a＜1.

所以a的取值范围是(－∞，－1)。

解析：（1），由是的极值点得，

即，所以，　　　       ………………………………２分

于是，，

由知 在上单调递增，且，

所以是的唯一零点。          ……………………………４分

因此，当时，；当时，，所以，函数 在上单调递减，在上单调递增。  ……………………………６分

（2）解法一：当，时，，

故只需证明当时，＞，　………………………………８分

当时，函数在上单调递增，

又，

故在上有唯一实根，且。…………………10分

当时，；当时，，

从而当时， 取得最小值且。

由得,。…………………………………12分

故

==。

综上，当时，，　…………………………14分

解法二：当，时，，又,所以

，　   ………………………………………８分

取函数，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为，　……12分

所以，而上式三个不等号不能同时成立，故＞。…………………………………14分