热门试卷

（1）当a=3时，f（x）=x-3x，

∴f′（x）=1-3xln3，

∴f′（1）=1-3ln3，

∵f（1）=-2，

∴曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y+2=（1﹣3ln3）（x﹣1），即y=（1﹣3ln3）x﹣3+3ln3；

（2）f′（x）=1﹣axlna。

①0＜a＜1时，ax＞0，lna＜0，∴f′（x）＞0，

∴f（x）在R上为增函数，f（x）无极大值；

②a＞1，设f′（x）=0的根为t，则at=，即t=，

∴f（x）在（-∞，t）上为增函数，在（t，+∞）上为减函数，

∴f（x）的极大值为f（t）=t﹣at=﹣，即g（a）=﹣，

∵a＞1，∴＞0。

设h（x）=xlnx-x，x＞0，则h′（x）=lnx=0得x=1，

∴h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，

∴h（x）的最小值为h（1）=-1，即g（a）的最小值为-1，此时a=e。

解析：（1）由f（x）=alnx+（a≠0），得：，

∵a≠0，令，∴g（0）=1＞0。

令或，  则0＜a＜2。

（2）由（1）得：，

设ax2﹣（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，

则，得。

当x∈（0，α）和（β，+∞）时，，函数f（x）单调递增；

当x∈和（2，β）时，，函数f（x）单调递减，

则f（x1）≤f（a），f（x2）≥f（β），

则f（x2）﹣f（x1）≥f（β）﹣f（α）=alnβ﹣alnα﹣

==（利用）

令，x＞2则，

则函数h（x）单调递增， h（x）≥h（2）=2ln2+，

∴，

∵，则，

∴f（x1）﹣f（x2）≥ln2+。