函数的概念及其构成要素
共2084题

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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）设△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，，，，求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）

∵，∴，。

∴，

（2）由，得，

又为锐角，所以，又，，

所以，，

由，得，又，从而，。

所以，

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 14 分

己知函数三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1。

（1）求角B的大小；

（2）若，求c的值。

正确答案

见解析

解析

解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）

∴=sin2x+cos2x=sin（2x+）

∵f（B）=1，即sin（2B+）=1

∴2B+=+2kπ（k∈Z），可得B=+kπ（k∈Z）

∵B∈（0，π），∴取k=0，得B=；

（2）根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得

12=（）2+c2﹣2ccos，

化简整理得c2﹣3c+2=0，解之得c=1或2。

即当时，边c的值等于c=1或2。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数.

（1）若记，求证：当时，；

（2）若，是函数的两个极值点，且，若（），求实数的取值范围。（注：是自然对数的底数.）

正确答案

见解析

解析

解：（1）因为，所以

由得

当时，，

当时，

所以，

又因为，所以，

所以，当时， :

（2）由得：

因为方程有两解，所以

由

解得：或

(ⅰ) 当时，无解

(ⅱ) 当时，解得

所以，实数的取值范围为

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 14 分

是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要的影响。我国从的含量对空气质量评定的标准如表1所示.某市环保部门从2012年全年每天的监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图4所示。

（1）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望；

（2）以这15天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级。

正确答案

见解析.

解析

解：（1）依据条件，的可能值为，

当时，，

当时，

当时，，

当时，

所以其分布列为：

数学期望为：

（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为，

一年中空气质量达到一级的天数为，则，

∴（天）

所以一年中平均有天的空气质量达到一级

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 15 分

已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）

（1）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；

（2）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围，（e为自然对数的底）

正确答案

见解析

解析

解：（1）f′（x）=2ax﹣4b+=，其中x＞0，

由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，

故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax2﹣4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x1，x2，显然a≠0，

所以，解得；

（2）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），

由（1）知f（x）存在极大值和极小值，

设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，

所以m=f（x1），n=f（x2），

因为x1x2=1，所以0＜x1＜1＜x2，而且=∈（，），

由于函数y=x+在（0，1）上递减，所以，

又由于，

所以，

所以m﹣n=f（x1）﹣f（x2）

=﹣+4bx2﹣2alnx2

=+2a（lnx1﹣lnx2）

=﹣a（）+2aln，

令t=，则m﹣n=﹣a（t﹣）+2alnt，令h（t）=﹣（t﹣）+2lnt（），

所以h′（t）=﹣1﹣+=﹣≤0，所以h（t）在（）上单调递减，所以e﹣e﹣1﹣2＜h（t）＜e2﹣e﹣2﹣4，

由m﹣n=ah（t）=1，知a=，所以。

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