函数的概念及其构成要素
共2084题

· 函数的概念及其构成要素

函数的概念及其构成要素
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数,(其中)。

（1）求曲线在处的切线方程;

（2）若是函数的极值点，求实数的值;

（3）若对任意的，（为自然对数的底数，）都有，求实数的取值范围.

正确答案

（1）

（2）

（3）

解析

（1）

定义域__________1分

，__________3分

法一：令，解得，

又，，__________4分

经验证符合条件. __________5分

法二：令，，

，，为极值点，

，解得，又，，

（2）对任意的都有成立，

等价于对任意的都有成立，__________7分

当，，在上单调递增，

.__________8分

，，

1）若，，

在单调递增，

，，解得.__________10分

2）若

当，则

在递减，在递增，，

，又，__________12分

3）当时，在递减，

，恒成立. __________13分

综上所述.__________14分

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数的定义域为，函数的定义域为，则

正确答案

解析

由已知得

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数，x∈R,则是

A最小正周期为的奇函数

B最小正周期为的偶函数

C最小正周期为的奇函数

D最小正周期为的偶函数

正确答案

解析

∵,∴函数是最小正周期为的奇函数

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 13 分

对于定义域为的函数，如果任意的，当时，都有，则称函数是上的严格增函数；函数是定义在上，函数值也在中的严格增函数，并且满足条件.

（1）证明：；

（2）求的值；

（3）是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）证明：对①_________2分

由已知②，

由①、②__________3分

（2）若由已知得，矛盾；

设，，③

由严格递增，即，

，，__________6分

由③有故

，.

依此类推归纳猜出：.__________8分

下面用数学归纳法证明：

（1）当时，显然成立；

（2）假设当时成立，即，

那么当时，.猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对成立. __________10分

（3）存在当个连续自然数从时，函数值正好也是个连续自然数从.__________13分

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点且，求证。

正确答案

见解析。

解析

（1）函数的定义域为，

令，则。

①当，即时，，从而，故函数在上单调递增；

②当，即时，，此时，此时在的左右两侧不变号，故函数在上单调递增；

③当，即时，的两个根为，当，即时，，当时，。

故当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在单调递增，在单调递减，

（2）∵,∴当函数有两个极值点时，，

故此时，且，即，

设，其中，

则，

由于时，，故函数在上单调递增，

故。

∴。

知识点

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