- 圆锥曲线中的探索性问题
- 共76题
已知椭圆与双曲线有公共焦点,过椭圆C的右顶点B任意作直线,设直线交抛物线于P、Q两点,且
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点R(m,n),使得直线与圆相交于不同的两点M、N,且△OMN的面积最大?若存在,求出点R的坐标及对应的△OMN的面积;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知抛物线:,直线与抛物线交于、不同两点,且。
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;
(2)设直线为线段的中垂线,请判断直线是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,说明理由;
(3)记点、在轴上的射影分别为、,记曲线是以为直径的圆,当直线与曲线的相离时,求的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)抛物线的焦点坐标为,准线方程为:
(2)设,,∵、是不同的两点,∴且不与轴垂直
∵,∴,,∴中点的坐标为
∴…
讨论:当时,直线的斜率,∴直线的方程为:,即,令得,即直线恒过定点
当时,直线的方程为:,也过点,故恒过定点
(3)由第(2)问可设直线的方程为:,即
联立,消去得,所以即,所以
所以以为直径的圆的方程为
当直线与曲线相离时,圆心到直线的距离,即
所以,即,即,
所有,即,所以或
又,且,所以或,即,或,或,或,
的范围为
知识点
如图,已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为,线段的长为
(1)求动点的轨迹;
(2)当时,过点作直线与轨迹交于、两点,且点在线段的上方,线段的垂直平分线为
①求的面积的最大值;
②轨迹上是否存在除、以外的两点、关于直线对称,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)当即时,轨迹是以、为焦点的椭圆
当时,轨迹是线段
当时,轨迹不存在
(2)以线段的中点为坐标原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系,
可得轨迹的方程为
①解法1:设表示点到线段的距离
,
要使的面积有最大值,只要有最大值
当点与椭圆的上顶点重合时,
的最大值为
解法2:在椭圆中,设,记
点在椭圆上,由椭圆的定义得:
在中,由余弦定理得:
配方,得:
从而
得
根据椭圆的对称性,当最大时,最大
当点与椭圆的上顶点重合时,
最大值为
②结论:当时,显然存在除、外的两点、关于直线对称
下证当与不垂直时,不存在除、外的两点、关于直线对称
证法1:假设存在这样的两个不同的点
设线段的中点为 直线
由于在上,故 ①
又在椭圆上,所以有
两式相减,得
将该式写为,
并将直线的斜率和线段的中点,表示代入该表达式中,
得 ②
①、②得,由(1)代入
得
即的中点为点,而这是不可能的.
此时不存在满足题设条件的点和.
证法2:假设存在这样的两个不同的点
,
则,故直线经过原点。
直线的斜率为,则假设不成立,
故此时椭圆上不存在两点(除了点、点外)关于直线对称
知识点
如图,已知点是椭圆=1上的动点,以为切点的切线与直线相交于点。
(1)过点且与垂直的直线为,求与轴交点纵坐标的取值范围;
(2)在轴上是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。(注:参考定理:若点在椭圆上,则以为切点的椭圆的切线方程是:)
正确答案
见解析。
解析
解:
知识点
已知椭圆C的中点在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知两点、,点是直角坐标平面上的动点,若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足。
(1) 求动点所在曲线的轨迹方程;
(2)过点作斜率为的直线交曲线于两点,且满足,又点关于原点O的对称点为点,试问四点是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)依据题意,有。
∵,
∴。
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是。
(2)因直线过点,且斜率为,
故有,联立方程组,得。
设两曲线的交点为、,可算得。
又,点与点关于原点对称,
于是,可得点、。
若线段、的中垂线分别为和,则有,。
联立方程组,解得和的交点为。
因此,可算得,
。
所以,四点共圆,圆心坐标为,半径为。
知识点
以椭圆的中心O为圆心,为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P,左焦点为F,上顶点为Q,且满足.
(1)求椭圆C及其“准圆”的方程;
(2)若椭圆C的“准圆”的一个弦ED(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于M、N两点,试证明:当时,试问弦ED的长是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
正确答案
见解析
解析
知识点
已知动圆与圆相切,且与圆相内切,记圆心的轨迹为曲线;设为曲线上的一个不在轴上的动点,为坐标原点,过点作的平行线交曲线于两个不同的点。
(1)求曲线的方程;
(2)试探究和的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请说明理由;
(3)记的面积为,的面积为,令,求的最大值。
正确答案
见解析。
解析
(1)设圆心的坐标为,半径为
由于动圆与圆相切,且与圆相内切,所以动
圆与圆只能内切
………………………………………2分
圆心的轨迹为以为焦点的椭圆,其中,
故圆心的轨迹: …………………………………………………………4分
(2)设,直线,则直线
由可得:,
……………………………6分
由可得:
………………………………8分
和的比值为一个常数,这个常数为……………………………………9分
(3),的面积的面积,
到直线的距离
…………………………11分
令,则
(当且仅当,即,亦即时取等号)
当时,取最大值……………………………………………………13分
知识点
已知椭圆:的右焦点为,且点在椭圆上。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线过点,且与椭圆交于,两点.试问轴上是否存在定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意知:.
根据椭圆的定义得:,即.
……………………………………3分
所以 .
所以 椭圆的标准方程为. ……………………………………4分
(2)假设在轴上存在点,使得恒成立。
当直线的斜率为0时,.
则 .
解得 . ……………………………………6分
当直线的斜率不存在时,.
由于,所以.
下面证明时,恒成立. ……………………8分
显然 直线的斜率为0时,.
当直线的斜率不为0时,设直线的方程为:,.
由可得:.
显然.
………………………10分
因为 ,,
所以
.
综上所述:在轴上存在点,使得恒成立.…………………13分
知识点
已知:椭圆(),过点,的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为。
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率大于零的直线过与椭圆交于,两点,若,求直线的方程;
(3)是否存在实数,直线交椭圆于,两点,以为直径的圆过点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由, ,得,,
所以椭圆方程是:-----------------4分
(2)设EF:()代入,得,
设,,由,得。
由,--------------6分
得,,(舍去),(没舍去扣1分)
直线的方程为:即--------------------9分
(3)将代入,得(*)
记,,PQ为直径的圆过,则,即,又,,得。
解得,此时(*)方程,
存在,满足题设条件。-----------------14分
知识点
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