- 圆锥曲线中的探索性问题
- 共76题
已知椭圆与双曲线
有公共焦点,过椭圆C的右顶点B任意作直线
,设直线
交抛物线
于P、Q两点,且
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点R(m,n),使得直线与圆
相交于不同的两点M、N,且△OMN的面积最大?若存在,求出点R的坐标及对应的△OMN的面积;若不存在,请说明理由。
已知抛物线:
,直线
与抛物线
交于
、
不同两点,且
。
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;
(2)设直线为线段
的中垂线,请判断直线
是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,说明理由;
(3)记点、
在
轴上的射影分别为
、
,记曲线
是以
为直径的圆,当直线
与曲线
的相离时,求
的取值范围。
如图,已知平面内一动点到两个定点
、
的距离之和为
,线段
的长为
(1)求动点的轨迹
;
(2)当时,过点
作直线
与轨迹
交于
、
两点,且点
在线段
的上方,线段
的垂直平分线为
①求的面积的最大值;
②轨迹上是否存在除
、
以外的两点
、
关于直线
对称,请说明理由。
如图,已知点是椭圆
=1上的动点,以
为切点的切线
与直线
相交于点
。
(1)过点且
与垂直的直线为
,求
与
轴交点纵坐标的取值范围;
(2)在轴上是否存在定点
,使得以
为直径的圆恒过点
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由。(注:参考定理:若点
在椭圆
上,则以
为切点的椭圆的切线方程是:
)
已知椭圆C的中点在原点,焦点在轴上,离心率等于
,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足
,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
已知两点、
,点
是直角坐标平面上的动点,若将点
的横坐标保持不变、纵坐标扩大到
倍后得到点
满足
。
(1) 求动点所在曲线
的轨迹方程;
(2)过点作斜率为
的直线
交曲线
于
两点,且满足
,又点
关于原点O的对称点为点
,试问四点
是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由。
以椭圆的中心O为圆心,
为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P,左焦点为F,上顶点为Q,且满足
.
(1)求椭圆C及其“准圆”的方程;
(2)若椭圆C的“准圆”的一个弦ED(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于M、N两点,试证明:当时,试问弦ED的长是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
已知动圆与圆
相切,且与圆
相内切,记圆心
的轨迹为曲线
;设
为曲线
上的一个不在
轴上的动点,
为坐标原点,过点
作
的平行线交曲线
于
两个不同的点。
(1)求曲线的方程;
(2)试探究和
的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请说明理由;
(3)记的面积为
,
的面积为
,令
,求
的最大值。
已知椭圆:
的右焦点为
,且点
在椭圆
上。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线过点
,且与椭圆
交于
,
两点.试问
轴上是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由。
已知:椭圆(
),过点
,
的直线倾斜角为
,原点到该直线的距离为
。
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率大于零的直线过与椭圆交于
,
两点,若
,求直线
的方程;
(3)是否存在实数,直线
交椭圆于
,
两点,以
为直径的圆过点
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由。
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