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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆与双曲线有公共焦点,过椭圆C的右顶点B任意作直线,设直线交抛物线于P、Q两点,且

(1)求椭圆C的方程;

(2)在椭圆C上,是否存在点R(m,n),使得直线与圆相交于不同的两点M、N,且△OMN的面积最大?若存在,求出点R的坐标及对应的△OMN的面积;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知抛物线,直线与抛物线交于不同两点,且

(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;

(2)设直线为线段的中垂线,请判断直线是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,说明理由;

(3)记点轴上的射影分别为,记曲线是以为直径的圆,当直线与曲线的相离时,求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)抛物线的焦点坐标为,准线方程为:

(2)设,∵是不同的两点,∴不与轴垂直

,∴,∴中点的坐标为

讨论:当时,直线的斜率,∴直线的方程为:,即,令,即直线恒过定点

时,直线的方程为:,也过点,故恒过定点

(3)由第(2)问可设直线的方程为:,即

联立,消去,所以,所以

所以以为直径的圆的方程为

当直线与曲线相离时,圆心到直线的距离,即

所以,即,即

所有,即,所以

,且,所以,即,或,或,或

的范围为

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

如图,已知平面内一动点到两个定点的距离之和为,线段的长为

(1)求动点的轨迹

(2)当时,过点作直线与轨迹交于两点,且点在线段的上方,线段的垂直平分线为

①求的面积的最大值;

②轨迹上是否存在除以外的两点关于直线对称,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)当时,轨迹是以为焦点的椭圆

时,轨迹是线段

时,轨迹不存在

(2)以线段的中点为坐标原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系,

可得轨迹的方程为

①解法1:设表示点到线段的距离

要使的面积有最大值,只要有最大值

当点与椭圆的上顶点重合时,

的最大值为

解法2:在椭圆中,设,记

在椭圆上,由椭圆的定义得:

中,由余弦定理得:

配方,得:

从而

根据椭圆的对称性,当最大时,最大

当点与椭圆的上顶点重合时,

最大值为

②结论:当时,显然存在除外的两点关于直线对称

下证当不垂直时,不存在除外的两点关于直线对称

证法1:假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于上,故        ①

在椭圆上,所以有

两式相减,得

将该式写为

并将直线的斜率和线段的中点,表示代入该表达式中,

     ②

①、②得,由(1)代入

的中点为点,而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点.

证法2:假设存在这样的两个不同的点

,故直线经过原点。

直线的斜率为,则假设不成立,

故此时椭圆上不存在两点(除了点、点外)关于直线对称

知识点

定义法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,已知点是椭圆=1上的动点,以为切点的切线与直线相交于点

(1)过点与垂直的直线为,求轴交点纵坐标的取值范围;

(2)在轴上是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。(注:参考定理:若点在椭圆上,则以为切点的椭圆的切线方程是:

正确答案

见解析。

解析

解:

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆C的中点在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知点在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

已知两点,点是直角坐标平面上的动点,若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足

(1) 求动点所在曲线的轨迹方程;

(2)过点作斜率为的直线交曲线两点,且满足,又点关于原点O的对称点为点,试问四点是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)依据题意,有

∴动点P所在曲线C的轨迹方程是

(2)因直线过点,且斜率为

故有,联立方程组,得

设两曲线的交点为,可算得

,点与点关于原点对称,

于是,可得点

若线段的中垂线分别为,则有

联立方程组,解得的交点为

因此,可算得

所以,四点共圆,圆心坐标为,半径为

知识点

向量在几何中的应用直接法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

以椭圆的中心O为圆心,为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P,左焦点为F,上顶点为Q,且满足.

(1)求椭圆C及其“准圆”的方程;

(2)若椭圆C的“准圆”的一个弦ED(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于M、N两点,试证明:当时,试问弦ED的长是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

正确答案

见解析

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知动圆与圆相切,且与圆相内切,记圆心的轨迹为曲线;设为曲线上的一个不在轴上的动点,为坐标原点,过点的平行线交曲线两个不同的点。

(1)求曲线的方程;

(2)试探究的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请说明理由;

(3)记的面积为的面积为,令,求的最大值。

正确答案

见解析。

解析

(1)设圆心的坐标为,半径为

由于动圆与圆相切,且与圆相内切,所以动

与圆只能内切

 ………………………………………2分

圆心的轨迹为以为焦点的椭圆,其中

故圆心的轨迹 …………………………………………………………4分

(2)设,直线,则直线

可得:

 ……………………………6分

可得:

………………………………8分

的比值为一个常数,这个常数为……………………………………9分

(3)的面积的面积,

到直线的距离

 …………………………11分

,则

(当且仅当,即,亦即时取等号)

时,取最大值……………………………………………………13分

知识点

定义法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆:的右焦点为,且点在椭圆上。

(1)求椭圆的标准方程;

(2)已知动直线过点,且与椭圆交于两点.试问轴上是否存在定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由题意知:.

根据椭圆的定义得:,即.

……………………………………3分

所以 .

所以 椭圆的标准方程为.    ……………………………………4分

(2)假设在轴上存在点,使得恒成立。

当直线的斜率为0时,.

.

解得 .                        ……………………………………6分

当直线的斜率不存在时,.

由于,所以.

下面证明时,恒成立. ……………………8分

显然 直线的斜率为0时,.

当直线的斜率不为0时,设直线的方程为:.

可得:.

        显然.

………………………10分

因为

所以

                  .

综上所述:在轴上存在点,使得恒成立.…………………13分

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知:椭圆),过点的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为

(1)求椭圆的方程;

(2)斜率大于零的直线过与椭圆交于两点,若,求直线的方程;

(3)是否存在实数,直线交椭圆于两点,以为直径的圆过点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由 ,得

所以椭圆方程是:-----------------4分

(2)设EF:)代入,得

,由,得

--------------6分

(舍去),(没舍去扣1分)

直线的方程为:--------------------9分

(3)将代入,得(*)

,PQ为直径的圆过,则,即,又,得

解得,此时(*)方程

存在,满足题设条件。-----------------14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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