热门试卷

（1）如图设M(x，y)、P(x0，y0)，则由|DM|=m|PD|(0<m<1)得

x= x0，|y|=m| y0|，即

∵，∴即为曲线C的方程。………6′

（2）设，则

由得：………8′

设A(x1，y1)、B(x2，y2).

则，.

∴，………9′

∵

即Q点坐标为，将Q点代入，得.

∴存在当时，Q点在曲线C上。………13′

（1）当时，直线的倾斜角为，

所以：…………3分

解得：，……5分

所以椭圆方程是：；……6分

（2）当时，直线的方程为：，此时，M,N点的坐标分别是，又点坐标是（-2,0），由图可以得到P,Q两点坐标分别是（4,3），（4，-3），以PQ为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6，猜测当 变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6，……………………8分

证明如下：设点M,N点的坐标分别是，则直线的方程是：，

所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…………………9分

由方程组得到：，

所以：，…………………11分

从而：

所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6。……………13分

（1）

设点关于x轴的对称点为A1，则A1的坐标为

于是

当且仅当A、P、B三点共线是取等号，

这时|PA|+|PB|取得最小值

（2）解法一：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

过点M作y轴的垂线，垂足为G，则点G平分DE，

设圆心为M(m，n)，

则

即当M运动时，弦DE的长不随圆心M的变化而变化，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

解法二：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为 ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得，

∵点在抛物线上，

设

则

，即

即当M运动时，弦DE的长不随圆心M的变化而变化，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化；

解法三：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为  ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得：

∵点在抛物线上，

设

由求根公式得

     即

∴当M运动时，弦长|DE|为定值，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

解法四：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为  ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得，

设

则，

又∵点在抛物线上，

∴当M运动时，弦长|DE|为定值，又∵点A'到y轴的距离不变，

∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

（1）易知椭圆的右焦点坐标为。

由抛物线的定义，知P点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线。

所以，动点P的轨迹C的方程为。  ……………………………………4分

（2）由题意知，直线AB的方程为。

代入，得。

设，则。

因为点始终在以线段为直径的圆内，

为钝角。

又，，

，。

即，

。

因此，

。

综上，实数的取值范围是。

（3）设过点的直线方程为，代入，得

，设，则，。

于是。

的中点坐标为

又

。

设存在直线满足条件，则。

化简，得。

所以，对任意的恒成立，

所以

解得，。

所以，当时，存在直线与以线段为直径的圆始终相切，…………13分

（1）当时，直线的倾斜角为，所以：…………3分

解得：，……5分      所以椭圆方程是：；……6分

（2）当时，直线的方程为：，此时，M,N点的坐标分别是，又点坐标是（-2,0），由图可以得到P,Q两点坐标分别是（4,3），（4，-3），以PQ为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6，猜测当 变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6，……………………8分

证明如下：设点M,N点的坐标分别是，则直线的方程是：，

所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…………………9分

由方程组得到：，

所以：，…………………11分

从而：

所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6。……………13分

（1）依题意知，解得.

所以曲线的方程为.                                         

（2）由题意直线的方程为：，则点

联立方程组，消去得

得.                                              

所以得直线的方程为.

代入曲线，得.

解得.                                      

所以直线的斜率.        

过点的切线的斜率.

由题意有.

解得.

故存在实数使命题成立，

（1）设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|，m0， m=-4t2，

 Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，=(-4t2-，0)，

2=(-，2 t)， +=2。

(x-，y)+ (-4t2-，0)= (-，2 t)，

 x=4t2，y=2 t， y2=x，此即点P的轨迹方程；       6分。

（2）由（1），点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:

L=2

=2=2      10分

若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0, 即a=时，L=

存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。

解析：（1）设的标准方程分别为：

和代入抛物线方程中得到的解相同，…………………………2分，

且和在椭圆上，代入椭圆方程得故的标准方程分别为　　　　　　　　　　　　　…………………………5分

（2）设直线的方程为将其代入消去并化简整理得

与相切，

…………………………7分，

设切点则又直线与的准线的交点以为直径的圆的方程为

…………………………10分，

化简并整理得恒成立，故即存在定点合题意。　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………12分

（1）由，

解得，，

因为，所以。

设，则，

化简得，……5分

又，联立方程组，解得，或。

因为平分，所以不合，故

（2）设，，由，得。

，，，

若存常数，当变化时，恒有，则由（1）知只可能。

①当时，取，等价于，

即，

即，

即，此式恒成立。

所以，存常数，当变化时，恒有，

②当时，取，由对称性同理可知结论成立。

故，存常数，当变化时，恒有，