- 圆锥曲线中的探索性问题
- 共76题
已知椭圆的离心率为,直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程;
(3)当P不在轴上时,在曲线上是否存在两个不同点C、D关于对称,若存在,求出的斜率范围,若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)∵
∵直线相切,
∴ ∴
∵椭圆C1的方程是
(2)∵MP=MF2,
∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1(1,0)的距离,
∴动点M的轨迹是C为l1准线,F2为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C2的方程为
(3)显然不与轴垂直,设 (,), (,),且≠,则 =。
若存在C、D关于对称,则=- ∵≠0,∴≠0
设线段的中点为,则=(+)=,=,
将代入方程求得:=-( -)=(-)
∵-=-≠1∴ ≠()= ∴线段的中点不在直线上。
所以在曲线上不存在两个不同点C、D关于对称
知识点
已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,倾斜角为的 直线过点.
(1)求该椭圆的方程;
(2)设椭圆的另一个焦点为,问抛物线上是否存在一点,使得与关于直线对称,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
解:(1)抛物线的焦点为,准线方程为,
∴ ①
又椭圆截抛物线的准线所得弦长为,
∴ 得上交点为,∴ ②
由①代入②得,解得或(舍去),
从而
∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为
(2)∵ 倾斜角为的直线过点,
∴ 直线的方程为,即
由(1)知椭圆的另一个焦点为,设与关于直线对称,则得 ,
解得,即,
又满足,故点在抛物线上。所以抛物线上存在一点,使得与关于直线对称。
知识点
20. 如图,已知定点,点是定直线上的动点,∠的角平分线交于.
(1)求点的轨迹方程;
(2)若(1)中轨迹上是否存在一点,直线与,使得∠是直角?如果存在,求点坐标;如果不存在,请说明理由。
正确答案
解析
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知识点
19.已知椭圆过点,且点在轴上的射影恰为椭圆的一个焦点
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过作两条倾斜角互补的直线与椭圆分别交于两点.试问:四边形能否为平行四边形?若能,求出直线的方程;否则说明理由。
正确答案
解析
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知识点
20.如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率e=,左焦点为F,A,B,C为其三个顶点,直线CF与AB交于点D,若△ADC的面积为15.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在分别以AD,AC为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的圆心坐标;若不存在,请说明理由.
正确答案
(Ⅰ)解:设左焦点F的坐标为(-c,0),其中c=,
∵e=,∴a=c,b=c.
∴A(0,c),B(-c,0),C(0,-c),
∴AB:,CF:,
联立解得D点的坐标为(-c,c).
∵△ADC的面积为15,∴|xD|·|AC|=15,即·c·2·c=15,
解得c=3,∴a=5,b=4,∴椭圆C的方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,A点的坐标为(0,4),D点的坐标为(-,1).
假设存在这样的两个圆M与圆N,其中AD是圆M的弦,AC是圆N的弦,
则点M在线段AD的垂直平分线上,点N在线段AC的垂直平分线y=0上.
当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有A,M,N在一条直线上,且AM=AN.
∴M、N关于点A对称,设M(x1,y1),则N(-x1,8-y1),
根据点N在直线y=0上,∴y1=8.∴M(x1,8),N(-x1,0),
而点M 在线段AD的垂直平分线y-=-(x+)上,可求x1=-.
故存在这样的两个圆,且这两个圆的圆心坐标分别为
M(-,8),N(0).
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知识点
16.已知点,直线,动点到点的距离等于它到直线的距离.
(Ⅰ)试判断点的轨迹的形状,并写出其方程.
(Ⅱ)是否存在过的直线,使得直线被截得的弦恰好被点所平分?
正确答案
(Ⅰ)因点到点的距离等于它到直线的距离,
所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线,其方程为.
(Ⅱ)解法一:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于,
依题意,得.
①当直线的斜率不存在时,不合题意.
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
联立方程组,
消去,得,(*)
∴,解得.
此时,方程(*)为,其判别式大于零,
∴存在满足题设的直线
且直线的方程为:即.
解法二:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于,
依题意,得.
易判断直线不可能垂直轴,
∴设直线的方程为,
联立方程组,
消去,得,
∵,
∴直线与轨迹必相交.
又,∴.
∴存在满足题设的直线
且直线的方程为:即.
解法三:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于,
依题意,得.
∵在轨迹上,
∴有,将,得.
当时,弦的中点不是,不合题意,
∴,即直线的斜率,
注意到点在曲线的张口内(或:经检验,直线与轨迹相交)
∴存在满足题设的直线
且直线的方程为:即.
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22.已知抛物线,过点的直线与抛物线交于、两点,且直线与轴交于点.
(1)求证:,,成等比数列;
(2)设,,试问是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
正确答案
解:(1)设直线的方程为:,
联立方程可得得: ①
设,,,则, ②
,
而,∴,
即,、成等比数列
(2)由,得,
,
即得:,,则
由(1)中②代入得,故为定值且定值为
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知识点
20.已知椭圆和圆,过椭圆上一点引圆的两条切线,切点分别为.
(1)(ⅰ)若圆过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率的值;
(ⅱ)若椭圆上存在点,使得,求椭圆离心率的取值范围;
(2)设直线与轴、轴分别交于点,问当点P在椭圆上运动时,是否为定值?请证明你的结论.
正确答案
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21.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
正确答案
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知识点
20.已知椭圆的焦点坐标是,过点垂直与长轴的直线交椭圆与两点,且.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过的直线与椭圆交与不同的两点,则的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
正确答案
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