- 圆锥曲线中的探索性问题
- 共76题
20.过圆上一点作圆的切线l,且直线l与椭圆C:相切,椭圆的离心率为,椭圆的两个焦点坐标分别为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若在椭圆上存在一点P,使得的面积为,求此时满足的实数k的值.
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
20. 如图,抛物线与椭圆交于第一象限内一点,为抛物线的焦点,分别为椭圆的上下焦点,已知。
(1)求抛物线和椭圆的方程;
(2)是否存在经过M的直线,与抛物线和椭圆分别交于非M的两点,使得?若存在请求出直线的斜率,若不存在,请说明理由。
正确答案
解析
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知识点
21.已知椭圆的左右焦点分别为、,短轴两个端点为、,且四边形是边长为2的正方形.
(I)求椭圆方程;
(Ⅱ)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点,证明:为定值;
(III)在(Ⅱ)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
正确答案
(I),,椭圆方程为,
(Ⅱ),设,则,
直线:,即,
代入椭圆得,
,,,
(定值),
(III)设存在满足条件,则,
,
解析
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知识点
21.已知椭圆C的离心率,长轴的左右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).
(I)求椭圆C的方程;
(II)设直线x=my+1与椭圆C交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
正确答案
解析
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知识点
20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,椭圆C的上、下顶点分别为A1,A2,左、右顶点分别为B1,B2,左、右焦点分别为F1,F2.原点到直线A2B2的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过原点且斜率为的直线l,与椭圆交于E,F点,试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角,并写出理由;
(3)P是椭圆上异于A1,A2的任一点,直线PA1,PA2,分别交轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值。
正确答案
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知识点
20.已知椭圆C:()的离心率,左右焦点分别为、,抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个焦点。
(1)求椭圆方程;
(2)过椭圆的左顶点A作两条弦、分别交椭圆于、两点,满足,当点在椭圆上运动时,直线是否经过轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出定点坐标;若不过定点,请说明理由。
正确答案
解析
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知识点
20. 如图,已知椭圆的焦点分别为,双曲线,设为双曲线上异于顶点的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(Ⅰ)设直线、的斜率分别为、,求:的值;
(Ⅱ)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
(Ⅰ)设,则
因为点P在双曲线上,所以
因此,即
(Ⅱ)由于PF1的方程为,将其代入椭圆方程得
由违达定理
得
所以
同理可得 则
又所以
故
因此,存在,使恒成立。
解析
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知识点
21.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
正确答案
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知识点
20. 已知椭圆C:经过点 ,离心率 ,直线的方程为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线与l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为,问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值,若不存在,说明理由。
正确答案
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知识点
20. 已知圆N:和抛物线C:,圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A,B.
(Ⅰ)当直线l的斜率为-1时,求线段AB的长;
(Ⅱ)设点M点N关于直线y=x对称,问是否存在直线l,使得⊥?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
正确答案
解析
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知识点
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