圆锥曲线中的探索性问题
共76题

· 圆锥曲线中的探索性问题

圆锥曲线中的探索性问题
共76题

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题型：简答题

简答题 · 16 分

22．设，为坐标平面上的点．直线与抛物线交于点（异于点）．

（1）对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上?并求出该圆的方程；

（2）若点在椭圆上运动，试问能否保持在一双曲线上?若能，求出该双曲线的方程．若不能，说明理由；

（3）对（1）中点所在的圆，设为圆上两点，且满足，试寻找一个定圆，使得恒与圆相切．

正确答案

（1）直线，与抛物线联立得，依题意，

，当时，在圆上；

（2）若点在椭圆上运动，则，

（方法1）两边同除以得，，

∴点在双曲线上；

（方法2）设，则代入上式，

得，

即，∴点在双曲线上；

（3）（方法1）设，则，

由得

① 当直线的斜率为零时，

设的方程为，于是（舍负）

②当直线的斜率不为零时，

设的方程为，代入圆的方程得

，于是，

即原点到直线的距离，与无关，

∴直线总与圆相切．

（方法2）设，原点到直线的距离为

则，

即

注意到圆是的外接圆，

∴，∴

即原点到直线的距离为定值，

∴直线总与圆相切．

解析

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知识点

圆的标准方程双曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

18. 已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且。

（1）求动点P所在曲线C的方程；

（2）直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；

（3）记，，（A、B、是（2）中的点），问是否存在实数，使成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

解析

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知识点

点与圆的位置关系椭圆的定义及标准方程直接法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

21．已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：.

（1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；

（2）已知直线、都过点，且，、与轨迹C分别交于点D、E.是否存在这样的直线、,使得△BDE是等腰直角三角形?若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由.

正确答案

解：设点，则

∵

∴

∴点 M 的轨迹C是以为焦点，长轴长为 4 的椭圆

∴ ∴

∴ 动点M 的轨迹 C的方程为

（2）

由（1）知，轨迹C是椭圆，点是它的上顶点，

设满足条件的直线、存在，直线的方程为 ①

则直线的方程为，②

将①代入椭圆方程并整理得：，可得，则.

将②代入椭圆方程并整理得：，可得，则

由△BDE是等腰直角三角形得

∴或 ④

∵方程④或.

∴即满足条件的直线、存在，共有3组．

解析

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知识点

定义法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20. 已知F（，0）为抛物线（p＞0）的焦点，点N（，）（＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且|NF|=，。

（Ⅰ）求抛物线方程和N点坐标；

（Ⅱ）判断直线中，是否存在使得面积最小的直线，若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）由题意，则，

故抛物线方程为。

由|NF|=，则。

∵，

∴，

所以N（2,2）。

（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为。

联立方程组，得。

设两个交点A（，），B（，）（≠±2，≠±2），则

由，整理得

。

此时，恒成立。

故直线的方程可化为，从而直线过定点E（3，-2）。

因为M（2，-2），

所以M,E所在直线平行x轴，

所以△MAB的面积当t=-2时有最小值为，此时直线的方程为。

考查方向

抛物线的性质与特征，圆锥曲线中的最值问题

解题思路

建立适当的坐标系，利用直线斜率之间的关系建立方程，进而求解，与抛物线联立成方程组，整理可得。

易错点

计算能力弱，找不到面积最小时候的情况

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知点为坐标原点，椭圆C的离心率为,点在椭圆C上．直线过点，且与椭圆C交于，两点．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）椭圆C上是否存在一点，使得？若存在，求出此时直线的方程，若不存在，说明理由．

正确答案

（I）

（Ⅱ）存在直线的方程为或

解析

（I）由题意得解得.

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）（1）当直线与轴垂直时，点，直线的方程为满足题意；

（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然.

设，，将代入得，

由直线，过点，得，

因此．

，得满足

所以直线的方程为．

综上，椭圆C上存在点，使得成立，此时直线的方程为

或 .

考查方向

本题主要考察椭圆的定义，以及直线与椭圆的综合问题，题目难度中等，计算量较大，是高考热点问题。圆锥曲线在高考中常常考察椭圆中的弦长、三角形面积的最值问题，以及定值和定点问题，或者求某一参数的取值范围，题目计算量较大，需要悉心计算。

解题思路

第一问直接根据离心率得到之间的关系，再根据过点列出方程组，解出

第二问设直线方程，别忘了考虑斜率不存在的情况，然后根据得到P点坐标,然后把P点坐标代入椭圆方程，得到关于的方程，解出即可。

易错点

1、在第二问设斜率的时候没有考虑斜率不存在的情况；

2、在第二问中计算出错

知识点

向量在几何中的应用直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题

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