圆锥曲线中的探索性问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点

(1) 若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程

(2) 设，若的斜率存在，且，求的斜率

正确答案

(1)由已知,

取，得

∵,

∴

即

∴

∴渐近线方程为

(2)若，则双曲线为

∴,

设, ，则

, ,

∴

(*)

∵

∴

∴代入(*)式，可得

直线的斜率存在，故

∴

设直线为，代入

得

∴，且

∴

∴直线的斜率为

知识点

双曲线的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（＞0）交与M,N两点，

25.当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

26.y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）或

解析

（Ⅰ）由题设可得，，或，.

∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为

，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为

，即.

故所求切线方程为或.

考查方向

本题考查了抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力。

解题思路

（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.

易错点

本题在用导数求方程过程中易错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）存在

解析

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.

将代入C得方程整理得.

∴.

∴==.

当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.

考查方向

本题考查了抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力。

解题思路

（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.

易错点

本题在用导数求方程过程中易错，在直线和曲线的位置关系中易错。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

正确答案

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

（本小题满分12分）

已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当t=4，时，求△AMN的面积；

（II）当时，求k的取值范围.

正确答案

（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.

将代入得.解得或，所以.

因此的面积.

（II）由题意，，.

将直线的方程代入得.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得，

由得，即.

当时上式不成立，

因此.等价于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范围是.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；

当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.

正确答案

知识点

充要条件的应用圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为.

24. 设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；

25. 设，，，求的值；

26. 设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略

解析

试题分析：（1）依题意，直线l1的方程，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d，再利用|AB|=2|AO|可证得S

（1）直线的方程为，

由点到直线的距离公式得点到的距离为，

因为，

所以.

考查方向

本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，属于难题．

解题思路

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．

易错点

准确计算化简

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（（2）或.

解析

试题分析：（2）由（1）得：进而得到答案.

（2）由，消去解得，

由（1）得

由题意知，

解得或.

考查方向

本题考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．

解题思路

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．

易错点

面积公式的恰当选取运用

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）

解析

试题分析：（3）设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组消去y解得，，利用，整理得

，由题意知与无关，

得到然后求解即可.

（3）设，则，设，，

由，得，

同理，

由（1）知，

，

整理得，

由题意知与无关，

则，解得.

所以.

考查方向

本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．

解题思路

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|，而|x1－x2|＝，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．

易错点

化简计算及方程恒成立问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

26.求椭圆C的方程；

27.设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；同理

，当重合，即轴时，等号成立. 所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为

考查方向

1、椭圆的标准方程；

解题思路

（Ⅰ）由题意并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）知，，即，这表明椭圆的长半轴长为，短半轴长为，即可求出椭圆的方程；

易错点

粗心算错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.

解析

（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

（2）当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得

.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以

，即. ①

又由可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得

. ②

将①代入②得，. 当时，；当时，.因，则，，所以

，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.

考查方向

直线与椭圆相交综合问题；

解题思路

（Ⅱ）首先讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，易知直线的方程为或，即可求出的面积的值；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程并整理得到一元二次方程，然后根据题意直线总与椭圆有且只有一个公共点知，即可得到.再分别联立直线与直线和可解得点和点的坐标，并根据原点到直线的距离公式可求得，于是的面积可表示为消去参数可得，于是分两种情况进行讨论：①当时；②当时，分别求出的面积的最小值，并比较即可求出的面积取得最小值.

易错点

忘记讨论斜率不存在的情况。

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图所示的封闭曲线C由曲线和曲线组成，已知曲线过点，离心率为，点A,B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点.

24.求曲线的方程；

25.若点Q是曲线上的任意点，求面积的最大值及点Q的坐标；

26.若点F为曲线的右焦点，直线与曲线相切于点M，且与直线交于点N，求证：以MN为直径的圆过点F.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，考察了抛物线方程，考察了圆锥曲线中的最值问题，考察了与已知直线平行的直线方程，考察了圆的基本性质，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

根据离心率和点求出曲线，求出交点确定

易错点

本题易错于1、曲线方程求错，特别是曲线 2、第二问Q点位置的确定，使用直接法会极大的增加运算过程，且很容易出错，第三问，主要是在圆的几何性质上使用出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，考察了抛物线方程，考察了圆锥曲线中的最值问题，考察了与已知直线平行的直线方程，考察了圆的基本性质，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

求出直线AB，判定面积最大是恰好是与AB平行且与曲线相切时，利用平行线及切线的判定求出面积的最大值及其点的坐标

易错点

本题易错于

1、曲线方程求错，特别是曲线

2、第二问Q点位置的确定，使用直接法会极大的增加运算过程，且很容易出错，第三问，主要是在圆的几何性质上使用出错

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，考察了抛物线方程，考察了圆锥曲线中的最值问题，考察了与已知直线平行的直线方程，考察了圆的基本性质，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

设出直线方程，利用与曲线联立，根据相切确定k，m的关系以及确定切点M的坐标，与直线联立求出点N的坐标

借助圆的几何性质

易错点

本题易错于1、曲线方程求错，特别是曲线 2、第二问Q点位置的确定，使用直接法会极大的增加运算过程，且很容易出错，第三问，主要是在圆的几何性质上使用出错

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

23.若在线段上，是的中点，证明；

24.若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）由题设，设：，：，则，且，，,，

设AR的斜率为，FQ的斜率为，则

所以

解析

由题设，设：，：，则，且，，,，

设AR的斜率为，FQ的斜率为，则

所以

考查方向

本题主要考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法

解题思路

（I）设出与x轴垂直的两条直线，然后得出A,B,P,Q,R的坐标，然后通过证明直线AR与直线FQ的斜率相等即可证明结果了；

易错点

对抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ）

解析

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为

考查方向

本题主要考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法

解题思路

（II）设直线l与x轴的交点坐标，利用面积可得，设出AB的中点E(x,y),根据AB与x轴是否垂直分两种情况结合求解

易错点

对抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法理解出现错误、计算错误

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

19．已知椭圆C:的离心率为，点在椭圆C上。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由。

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ），．

解析

试题分析：本题属于解析几何的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意直线不存在斜率的特殊情况，（3）要注意计算结果去正确性

（Ⅰ）解：由题意，得，，

又因为点在椭圆上，

所以，

解得，，，

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为．

证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为．

当直线的斜率存在时，设的方程为．

由方程组得，

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，

所以，即．

由方程组得，

则．

设，，则，，

设直线，的斜率分别为，，

所以

，

将代入上式，得．

要使得为定值，则，即，验证符合题意．

所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值．

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，

此时，圆与的交点也满足．

综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值．

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系的考查主要分以下几类：

1．直线与圆锥曲线的公共点个数问题，

2．弦长问题，

3．中点弦问题．

解题思路

本题考查直线与椭圆的位置关系，解题步骤如下：

1．利用待定系数法求出椭圆的标准方程；

2．假设存在，设出圆的方程与直线方程；

3．联立直线与椭圆的方程，化简得到关于的一元二次方程，利用判别式为0求得的关系；

4．联立直线与圆的方程，化简得到关于的一元二次方程，利用平面向量的数量积求解；

5．讨论直线斜率不存在的情况，得到结论。

易错点

1、第二问中，联立直线与圆的方程得到关于关于的一元二次方程后，要注意验证判别式为正值；

2、第二问中，不要忘记“直线无斜率”的特殊情况。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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