- 定义法求轨迹方程
- 共148题
若直线与曲线相切,则 。
正确答案
解析
略
知识点
曲线、直线与轴所围成的图形面积为_________
正确答案
解析
略
知识点
若分别是曲线和上的动点,则的最小值是 。
正确答案
1
解析
当 ,
知识点
已知椭圆上任一点,由点向轴作垂线段,垂足为,点在上,且,点的轨迹为。
(1)求曲线的方程;
(2)过点作直线与曲线交于.两点,设是过点且平行于轴的直线上一动点,满足 (为原点),且四边形为矩形,求出直线的方程。
正确答案
见解析。
解析
(1)设是曲线上任一点,轴,,所以点的坐标为,点在椭圆上,所以,
因此曲线的方程是(6分)(2)当直线的斜率不存在时,显然不满足条件,所以设直线的方程为,直线与椭圆交于,点所在直线方程为,由 得 ,…………………(8分)由得,即或因为,四边形为平行四边形………………………………(9分)又因是矩形,则
即,所以…………………(10分)设,由得,即点在直线,四边形为矩形,直线的方程为…(12分)
知识点
由曲线、直线x=0、x=2和x轴围成的封闭图形的面积可表示为
正确答案
解析
略
知识点
在直角坐标系中,动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是,设动点的轨迹为,是动圆上一点。
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设曲线上的三点与点的距离成等差数列,若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率;
(3)若直线与和动圆均只有一个公共点,求、两点的距离的最大值。
正确答案
见解析
解析
解:(1)由已知,得,
将两边平方,并化简得, .故轨迹的方程是。.
(2)由已知可得,,,
因为,所以,
即得, ①
故线段的中点为,其垂直平分线方程为,
因为在椭圆上,故有,,两式相减,得: ③将①代入③,化简得, ④ .
将④代入②,并令得,,即的坐标为。
所以.设、,直线的方程为
因为既在椭圆上又在直线上,从而有
将(1)代入(2)得
由于直线与椭圆相切,故
从而可得, (3)
同理,由既在圆上又在直线上,可得,(4)
由(3)、(4)得, 所以
即,当且仅当时取等号,故、两点的距离的最大值.
知识点
曲线的切线中,斜率最小的切线方程为__.
正确答案
解析
. 当时,;当时,. ∴切线方程为,即.
知识点
在极坐标系中,曲线与()的交点的极坐标为
正确答案
解析
解析1:由或(舍去)得
解析2:由,因为,所以,故交点的极坐标为
知识点
某海域有、两个岛屿,岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线,曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。
(1)求曲线的标准方程;
(2)某日,研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),、两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为,问你能否确定处的位置(即点的坐标)?
正确答案
(1)(2)点的坐标为或
解析
解析:(1)由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆 3分
又,则,故 5分
所以曲线的方程是 6分
(2)由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为,
因此设此时距、两岛的距离分别比为 7分
即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里。 8分
设,,由 , 10分
, 12分
13分
点的坐标为或
知识点
已知椭圆的左,右两个顶点分别为、,曲线是以、两点为顶点,离心率为的双曲线,设点在第一象限且在曲线上,直线与椭圆相交于另一点。
(1)求曲线的方程;
(2)设、两点的横坐标分别为、,证明:;
(3)设与(其中为坐标原点)的面积分别为与,且,求的取值范围。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)解双曲线的方程为,
(2)设点、(,,),直线的斜率为(),
则直线的方程为,
联立方程组
整理,得,解得或,所以。
同理可得,, 所以,
(3)解:设点、(,,),
则,。
因为,所以,即,
因为点在双曲线上,则,所以,即。
因为点是双曲线在第一象限内的一点,所以,
因为,,
所以,
由(2)知,,即,设,则,。
设,则,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减。
因为,,
所以当,即时,,
当,即时,,
所以的取值范围为,
知识点
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