- 定义法求轨迹方程
- 共148题
若直线与曲线
相切,则
。
正确答案
解析
略
知识点
曲线、直线
与
轴所围成的图形面积为_________
正确答案
解析
略
知识点
若分别是曲线
和
上的动点,则
的最小值是 。
正确答案
1
解析
当 ,
知识点
已知椭圆上任一点
,由点
向
轴作垂线段
,垂足为
,点
在
上,且
,点
的轨迹为
。
(1)求曲线的方程;
(2)过点作直线
与曲线
交于
.
两点,设
是过点
且平行于
轴的直线上一动点,满足
(
为原点),且四边形
为矩形,求出直线
的方程。
正确答案
见解析。
解析
(1)设是曲线
上任一点,
轴,
,所以点
的坐标为
,点
在椭圆
上,所以
,
因此曲线的方程是
(6分)(2)当直线
的斜率不存在时,显然不满足条件,所以设直线
的方程为
,直线
与椭圆交于
,
点所在直线方程为,由
得
,
…………………(8分)由
得
,即
或
因为
,四边形
为平行四边形………………………………(9分)又因
是矩形,则
即,所以
…………………(10分)设
,由
得
,即
点在直线
,四边形
为矩形,直线
的方程为
…(12分)
知识点
由曲线、直线x=0、x=2和x轴围成的封闭图形的面积可表示为
正确答案
解析
略
知识点
在直角坐标系中,动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离之比是
,设动点
的轨迹为
,
是动圆
上一点。
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设曲线上的三点
与点
的距离成等差数列,若线段
的垂直平分线与
轴的交点为
,求直线
的斜率
;
(3)若直线与
和动圆
均只有一个公共点,求
、
两点的距离
的最大值。
正确答案
见解析
解析
解:(1)由已知,得,
将两边平方,并化简得, .故轨迹
的方程是
。.
(2)由已知可得,
,
,
因为,所以
,
即得, ①
故线段的中点为
,其垂直平分线方程为
,
因为在椭圆上,故有
,
,两式相减,得:
③将①代入③,化简得
, ④ .
将④代入②,并令得,
,即
的坐标为
。
所以.设
、
,直线
的方程为
因为既在椭圆
上又在直线
上,从而有
将(1)代入(2)得
由于直线与椭圆
相切,故
从而可得,
(3)
同理,由既在圆
上又在直线
上,可得
,
(4)
由(3)、(4)得,
所以
即,当且仅当
时取等号,故
、
两点的距离
的最大值
.
知识点
曲线的切线中,斜率最小的切线方程为__.
正确答案
解析
. 当
时,
;当
时,
. ∴切线方程为
,即
.
知识点
在极坐标系中,曲线与
(
)的交点的极坐标为
正确答案
解析
解析1:由或
(舍去)得
解析2:由,因为
,所以
,故交点的极坐标为
知识点
某海域有、
两个岛屿,
岛在
岛正东4海里处。经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线
,曾有渔船在距
岛、
岛距离和为8海里处发现过鱼群。以
、
所在直线为
轴,
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系。
(1)求曲线的标准方程;
(2)某日,研究人员在、
两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),
、
两岛收到鱼群在
处反射信号的时间比为
,问你能否确定
处的位置(即点
的坐标)?
正确答案
(1)(2)点
的坐标为
或
解析
解析:(1)由题意知曲线是以
、
为焦点且长轴长为8的椭圆 3分
又,则
,故
5分
所以曲线的方程是
6分
(2)由于、
两岛收到鱼群发射信号的时间比为
,
因此设此时距、
两岛的距离分别比为
7分
即鱼群分别距、
两岛的距离为5海里和3海里。 8分
设,
,由
, 10分
, 12分
13分
点
的坐标为
或
知识点
已知椭圆的左,右两个顶点分别为
、
,曲线
是以
、
两点为顶点,离心率为
的双曲线,设点
在第一象限且在曲线
上,直线
与椭圆相交于另一点
。
(1)求曲线的方程;
(2)设、
两点的横坐标分别为
、
,证明:
;
(3)设与
(其中
为坐标原点)的面积分别为
与
,且
,求
的取值范围。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)解双曲线的方程为
,
(2)设点、
(
,
,
),直线
的斜率为
(
),
则直线的方程为
,
联立方程组
整理,得,解得
或
,所以
。
同理可得,, 所以
,
(3)解:设点、
(
,
,
),
则,
。
因为,所以
,即
,
因为点在双曲线上,则
,所以
,即
。
因为点是双曲线在第一象限内的一点,所以
,
因为,
,
所以,
由(2)知,,即
,设
,则
,
。
设,则
,
当时,
,当
时,
,
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减。
因为,
,
所以当,即
时,
,
当,即
时,
,
所以的取值范围为
,
知识点
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