定义法求轨迹方程
共148题

· 定义法求轨迹方程

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题型：简答题

简答题 · 7 分

选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角

（1）将的极坐标方程写成的形式

（2）在极坐标系中，以极点为坐标原点，以极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系。

若曲线：(为参数，)与有一个公共点在轴上，求的值

正确答案

见解析。

解析

(1)画图可知 ,即

(2)直线的直角坐标为，与轴的交点为，所以

知识点

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题型：简答题

简答题 · 7 分

在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为,将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为。

（1）求矩阵的逆矩阵；

（2）求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程。

正确答案

（1）;（2）

解析

（1）在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为.所以由旋转变换得到的公式即可求得矩阵M.再根据逆矩阵求出结论.

（2）将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为,由于曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程.所以.所以在曲线上任取一点,通过NM的变换即可得到结论.

（1），，。 4分

（2），，

代入中得：。

故所求的曲线方程为：。 7分

知识点

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题型：简答题

简答题 · 7 分

在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）。

（1）分别求出曲线和直线的直角坐标方程；

（2）若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数。

正确答案

（1）,;（2）3

解析

（1）由曲线的极坐标方程为,两边分别乘以,再根据,即可将极坐标方程转化为直角坐标方程.由直线的参数方程为（为参数）,消去参数t可得直角坐标系中的直线方程.

（2）由圆心(2,0)到直线的距离为1.所以恰为圆半径的，所以圆上共有3个点到直线的距离为1.

（1）由得，故曲线的直角坐标方程为：，即

；由直线的参数方程消去参数得，

即。 4分

（2）因为圆心到到直线的距离为，恰为圆半径的，所以圆上共有3个点到直线的距离为1。 7分

知识点

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题型：简答题

简答题 · 7 分

选修4-2：矩阵与变换

若点在矩阵对应变换的作用下得到的点为，（1）求矩阵的逆矩阵;

（2）求曲线C：x2+y2=1在矩阵N=所对应变换的作用下得到的新的曲线C'的方程。

正确答案

见解析。

解析

法一：，即，……………………1分所以得 ……………………3分

即M= ，由得 . ………………4分

法二：同法一可求得M= 因为 =1 , . ………4分

（2）

知识点

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题型：简答题

简答题 · 13 分

如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，设为线段的中点。

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）若圆在点处的切线与轴交于点，试判断直线与轨迹的位置关系。

正确答案

（1）;（2）相切

解析

（1）由于点在圆上运动, 为线段的中点,根据两点坐标的关系,以及点P在圆上,即可得到结论.

（2）由（1）得到轨迹的方程为椭圆方程.切线PE的斜率有两种情况：斜率不存在则可得直线与轨迹的位置关系为相切.直线斜率存在则假设点P的坐标,写出切线方程,以及点N的坐标,再写出直线MN的方程.联立椭圆方程,根据判别式的值即可得到结论.

（1）设，则。点在圆上，，

即点的轨迹的方程为。 4分

（2）解法一：

（i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，显然与轨迹相切；

（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，

因为直线与圆相切，所以，即。 7分

又直线的斜率等于，点的坐标为。

所以直线的方程为，即. 9分

由得。

，故直线与轨迹相切。

综上（i）（2）知，直线与轨迹相切. 13分

解法二：设（），则。 5分

（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；

（2）当时，直线的方程为，即。

令，则。，又点，

所以直线的方程为，即。 9分

由得即。

，所以，直线与轨迹相切。

综上（i）（2）知，直线与轨迹相切。 13分

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