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题型:简答题
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简答题 · 14 分

在平面直角坐标系内,动圆过定点,且与定直线相切。

(1)求动圆圆心的轨迹的方程;

(2)中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上,且直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长取得最小值时的椭圆方程。

正确答案

见解析。

解析

由题可知,圆心到定点的距离与到定直线的距离相等

由抛物线定义知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线

(确定“曲线是抛物线”1分,说明抛物线特征1分)

所以动圆圆心的轨迹的方程为.

⑵解法1、

,则中点为, 因为两点关于直线对称,所以,即,解之得(中点1分,方程组2分,化简1分)

将其代入抛物线方程,得:,所以.

联立 ,消去,得:

,得

注意到,即,所以,即

因此,椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为.

解法2、

 ,因为两点关于直线对称,则

,解之得

,根据对称性,不妨设点在第四象限,且直线与抛物线交于.则,于是直线方程为(斜率1分,方程1分)

联立 ,消去,得:

,得

注意到,即,所以,即

因此,椭圆长轴长的最小值为. 此时椭圆的方程为.

知识点

圆的标准方程
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,圆的外接圆,过点C的切线交的延长线于点。则的长______________,的长______________。

正确答案

4,

解析

知识点

圆的标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

在平面直角坐标系中, 动点到直线的距离是到点的距离的倍。

(1)求动点的轨迹方程;

(2)设直线与(1)中曲线交于点,与交于点,分别过点的垂线,垂足为,问:是否存在点使得的面积是面积的9倍?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。

正确答案

(1)

(2)存在点

解析

(1)解:设点的坐标为

由题意知                ……………………………3分

化简得   

所以动点的轨迹方程为               ……………………………5分

(2)设直线的方程为,点

因为,所以有,由已知得

所以有(1)                            ……………………………7分

,得

(2),(3)        ……………………………10分

由(1)(2)(3)得

所以 存在点                           ……………………………13分

知识点

圆的标准方程
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

正方体中,分别是棱的中点,动点所确定的平面上.若动点到直线的距离等于到面的距离则点P的轨迹为………………………………………………                   (     )

A椭圆

B抛物线

C双曲线

D直线

正确答案

B

解析

知识点

圆的标准方程
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

在极坐标系中,圆上的点到直线的距离的最大值是      。

正确答案

解析

知识点

圆的标准方程
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,是圆外一点,为切线,为切点,割线经过圆心,则         。

正确答案

解析

知识点

圆的标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知动点到点的距离与到直线的距离之和为5。

(1)求动点的轨迹的方程,并画出图形;

(2)若直线与轨迹有两个不同的公共点,求的取值范围;

(3)在(2)的条件下,求弦长的最大值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

圆的标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知动点与一定点的距离和它到一定直线的距离之比为.

(1)求动点的轨迹的方程;

(2)已知直线交轨迹两点,过点分别作直线的垂线,垂足依次为点.连接,试探索当变化时,直线是否相交于一定点?若交于定点,请求出点的坐标,并给予证明;否则说明理由。

正确答案

(1) 

(2)直线相交于一定点

解析

(1)由题意得,化简并整理,得 .

所以动点的轨迹的方程为椭圆.      ………3分

(2)当时,

直线的方程为:,直线的方程为:

方程联立解得,直线相交于一点.

假设直线相交于一定点.         ………5分

证明:设,则

消去并整理得,显然

由韦达定理得.             ………7分

因为

所以

       ………11分

所以,,所以三点共线,                 ………12分

同理可证三点共线,所以直线相交于一定点.14分

知识点

圆的标准方程
1
题型:填空题
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填空题 · 3 分

如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E(E在A,O之间),EF⊥BC,垂足为F,若,则AB=6,CF•CB=5,则AE=  。

正确答案

1

解析

解:在Rt△BCE中,EC2=CF•CB=5,∴EC2=5。

∵AB⊥CD,∴CE=ED。

由相交弦定理可得AE•EB=CE•EB=CE2=5。

∴(3﹣OE)•(3+OE)=5,解得OE=2,∴AE=3﹣OE=1。

故答案为1。

知识点

圆的标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

经过点F (0,1)且与直线y=﹣1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD (两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行,设直线l与轨迹M交于点B、C。

(1)求轨迹M的方程;

(2)证明:∠BAD=∠CAD;

(3)若点D到直线AB的距离等于,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程。

正确答案

见解析。

解析

(1)设圆心坐标为(x,y),由题意动圆经过定点F(0,1),且与定直线:y=﹣1相切,

所以 =|y+1|,

即(y﹣1)2+x2=(y+1)2

即x2=4y,故轨迹M的方程为x2=4y。

(2)由(1)得y=x2,∴y′=x,

设D(x0),由导数的几何意义 得直线l的斜率为kBC=

则A(﹣x0),设C(x1),B(x2)。

则kBC===x0,∴x1+x2=2x0

kAC==,kAB=

∴kBC+AB=+==0,∴kAB=﹣kBC

∴∠BAD=∠CAD。

(3)点D到直线AB的距离等于,可知∠BAD=45°,

不妨设C在AD上方,即x2<x1,直线AB的方程为:y﹣=﹣(x+x0),与x2=﹣4y联立方程组,

解得B点的坐标为(x0﹣4,),∴|AB|=|x0﹣4﹣(﹣x0)|=2|x0﹣2

由(2)知,∠CAD=∠BAD=45°,同理可得|AC|=2|x0+2|。

∴△ABC的面积为×|x0+2|×2|x0﹣2|=20。

解得x0=±3。

当x0=3时,B((﹣1,),KBC=,直线BC的方程为6x﹣4y+7=0;

当x0=﹣3时,B((﹣7,),KBC=﹣,直线BC的方程为6x+4y﹣7=0;

知识点

圆的标准方程
下一知识点 : 直线与圆、圆与圆的位置关系
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