热门试卷

设为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点，

则 ，即  

又因为点在椭圆上，所以 。

由已知条件可知， ，所以 a2=9，b2=4。

因为 a>0 ，b>0，所以 a=3，b=2. 

（1）设抛物线，则有，据此验证个点知

、在抛物线上，易求              …………………2分

设：，把点（2，0）（，）代入得：

∴方程为          ………………………………………………………4分

（2）容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；

当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为,

由消去，得 ，

于是 ， …………①          ……………………7分

即……②

由，即，得

将①、②代入（*）式，得  ，解得；

所以存在直线满足条件，且的方程为：或…………………9分

（3）设直线的斜率为，则：，：

则　化简得：。

∵此方程有一根为，∴

同理可得………………………………………………11分

则

所以的直线方程为

令，则.

所以直线过轴上的一定点 ………………………………………………14分

（1）依题意知，点是线段的中点，且⊥，

∴是线段的垂直平分线。       ---------------------------------------2分

∴。

故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

其方程为：。              -----------------------------------4分

（2）设，两切点为，

由得，求导得。

∴两条切线方程为 ①

②                    -------------------6分

对于方程①，代入点得，，又

∴整理得：

同理对方程②有

即为方程的两根.

∴  ③                            -----------------------8分

设直线的斜率为，

所以直线的方程为，展开得：

，代入③得：

∴直线恒过定点.                            -------------------------------------10分

(3) 证明：由（2）的结论，设， ，

且有，

∴                  ----------------------------11分

∴

=

--------------------------13分

又∵，所以

即直线的斜率倒数成等差数列.          ----------------------------14分

设是所求圆上的任意一点，

则，

故所求的圆的极坐标方程为，  

注：亦正确。

(1)证明：

∥,.

又为圆的切线 ,则. 

,

.

又  5分

(2) ，

≌,

设，易证，

又，所以   10分

解析：（1）当点P不在轴上时，延长与的延长线相交于点N，连结OM，

,,是线段的中点，

………………………………………………………………………2分

。

点P在椭圆上，。…………………………4分

当点P在轴上时，M与P重合，

M点的轨迹方程为。……………………………………………6分

（2）连结OE，易知轨迹T上有两个点，满足,

分别过A,B作直线OE的两条平行线，同底等高的两个三角形的面积相等，

∴符合条件的点均在直线、上。……………………………………………7分

∵   ∴直线、的方程分别为：、。

………………………………………………………………………………………8分

设点 （ ）∵在轨迹T内，∴。…………9分

分别解与

得 与………………………………………………11分

∵∴为偶数，在上对应的

在上，对应的

∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：

。…………………………13分

解：（1）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．

当||＝0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹C上．

当||≠0且||≠0时，由·＝0，得⊥．

又||＝||（如图），所以M为线段F2Q的中点．

在△QF1F2中，||＝||＝a，所以有x2＋y2＝a2．

综上所述，点M的轨迹C的方程是x2＋y2＝a2．…………………………（4分）

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y＝kx＋m（m≠0），A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y并整理，得

(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－a2＝0，

则△＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－a2)＝4(k2a2＋a2－m2)＞0，

且x1＋x2＝，x1x2＝．

∴y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．

∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，

∴·＝＝k2，

即＋m2＝0，又m≠0，

∴k2＝1，即k＝±1．

∴S△OAB＝|AB|d＝|x1－x2 |·

＝|x1－x2 ||m|=

由直线OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2a2且m2≠a2，

∴

故△OAB面积的取值范围为（0，a2）．…………………………………（10分）

（3）对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为（0，ab）．”（13分）