- 用样本的频率分布估计总体分布
- 共8题
（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准
正确答案
（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，
解得a=0.30．
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12=36 000．
（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，
解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
知识点
4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》（GB19522—2004）中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车非醉酒驾车”的临界值为20mg/100ml；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml。某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：
根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于（ ）
正确答案
0.09
解析
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知识点
如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图，记甲，乙两组数据的平均数依次为
正确答案
＞
解析
由茎叶图，甲班平均身高为（151+153+165+167+170+172）÷6=163
乙班平均身高为（150+161+162+163+164+172）÷6=162＜163。
则 
知识点
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X（单位：t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈[100,110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110）的频率），求T的数学期望。
正确答案
（1） 
解析
（1）当X∈[100,130）时，T＝500X－300（130－X）＝800X－39 000，
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以
（2）由（1）知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
（3）依题意可得T的分布列为
所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400
知识点
某产品按行业生产标准分成
（1）从该厂生产的产品中随机抽取
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数
（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数
正确答案
见解析
解析
解析：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数
∴样本中一等品的频率为
二等品的频率为
三等品的频率为
(2)∵
用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）可得
∴可得
其数学期望
知识点
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