热门试卷

１（1）

如图，因为，，所以. 又，，所以.　而，所以.

（2I）因为，所以直线所成角等于直线AD与平面所成角（记为）。

连结，因为棱柱是直棱柱，且，所以，从而，又，所以四边形为正方形，于是，故，于是。

由（I）可知：，所以，故。

在直角梯形ABCD中，因为，所以，从而∽，故，即 从而易得

，即. 连，

在中，. 得。

即直线所成角的正弦值为。

解法2. （I）

易知AB，AD，两两垂直，如图，以点A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。　设AB=t ，则相关各点坐标为

，，，，，，.

从而，，.

因为，所以，解得或（舍去）

于是，，又因为

，所以，即.

（2）由（I）知，，

.　设是平面的一个法向量，则

，即令x=1，得

。

设直线所成角为，则

=.

即直线所成角的正弦值为。

（1）证明：因为底面和侧面是矩形，所以 ，，又因为 ，所以 平面，………2分  因为 平面， 所以 .………4分

（2）证明：因为 ，所以四边形是平行四边形.

连接交于点，连接，则为的中点.

在中，因为，，所以 .……………6分

又因为 平面，平面，所以 平面.………8分

（3）解：由（1）可知，又因为 ，，

所以 平面.………………9分

设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，

设，则.设平面法向量为，因为 ，由  得令，得.……………11分

设平面法向量为，因为 ，由  得令，得.…………12分      

由平面与平面所成的锐二面角的大小为，

得，    ……………13分   

解得.………………14分

解析：

（1）解法一：建立坐标系如图

平面的一个法向量为

因为，，

可知直线的一个方向向量为。

设直线与平面成角为，与所成角为，则

解法二：平面，即为在平面内的射影，

故为直线与平面所成角，

在中， ,      

（2）解法一：建立坐标系如图，平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为，因为，

所以，令，则

由图知二面角为锐二面角，故其大小为。

解法二：过作平面的垂线，垂足为，即为所求

，过作的垂线设垂足为，∽

即    在中

所以二面角的大小为。

解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，由于E为PB的中点，

再取DP的中点F，AP的中点为K，

则FK是三角形PAD的中位线，FK平行且等于AD；

EF是三角形PBD的中位线，故有BD∥EF ①。

再根据PA=PB=AD=AB=4BC=4，AD∥BC，且AD⊥面PAB，

可得EF=BD=2，CE==，

FC===。

显然有 CE2+EF2=FC2，∴EF⊥CE ②。

由①、②可得BD⊥CE。

（2）由题意可得平面ABCD⊥平面PAB，过点E作EG⊥AB，G为垂足，则EG⊥平面ABCD。

再过点G作GH⊥AC，H为垂足，则有三垂线定理可得，EH⊥AC，∴∠EHG为二面角E﹣AC﹣B的平面角。

由=AB•EG，可得=，解得  EG=。

由于AD⊥面PAB，AD∥BC，∴BC⊥面PAB，∴CPB⊥面PAB。

再根据等边三角形种AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EC。

再根据=，可得 =，解得 EH=2。

直角三角形EGH中，sin∠EHG==，

∴cos∠EHG==，即二面角E﹣AC﹣B的余弦值为 。