热门试卷

（1）证明：设与相交于点，连结。

因为 四边形为菱形，所以，

且为中点。

又 ，所以 。

因为 ，

所以 平面。

（2）证明：因为四边形与均为菱形，

所以//，//，

所以 平面//平面。

又平面，

所以// 平面。

（3）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形。

因为为中点，所以，故平面。

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系。

设，因为四边形为菱形，，则，所以，

。

所以 。

所以 ，。

设平面的法向量为，则有

所以   取，得。

易知平面的法向量为。

由二面角是锐角，得 。

所以二面角的余弦值为。

（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AMMN, BCMN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面与平面的平面角，依题意，所以∠AMD=60o，………………………………………………2分

由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=，在矩形ABCD中，AB=2,AD=,所以，BD=，由题可知BO=OD=，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥DO     …………………………………………… 5分

解（2）设E，F是BD，CD的中点，则EFCD，OFCD，所以，CD面OEF，

又BO=OD，所以BD，面ABCD，面，平面BOD⊥平面ABCD

过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD，连结OH，……… 8分

所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为所求的角，即AO与平面BOD所成角。……11分

AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=，BO=OD=，

所以sin∠AOH=（14分）

方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系，

Q（0，0，0），B（，0，0），D（0，，2），O（0，，1）

所以（，，1），（0，，

所以0，即BO⊥DO（5分）

（2）设平面BOD的法向量是，可得：+=0

=0，令可得：所以

又（，，，

设AO与平面BOD所成角为

=（14分）

（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。                        …………（1分）

设，则，，，，

故，，，      ………………（3分）

因为，，故，，

即，，                             ………………………（5分）

所以，平面。                               ………………………（6分）

（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量

为，                                                …………（1分）

点的坐标为，则，，…………（2分）

设平面的一个法向量为，则，，

故即取，则，

故。                                     ………………………（5分）

设与的夹角为，则。  ………………………（7分）

所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为。 ……………………（8分）

解法二：

（1）因为平面，所以，     ………………………………（1分）

作，为垂足，则四边形是正方形，设，则，，

又，所以是的中点，，所以，

所以，所以。         ………………………………（5分）

所以，平面。                         ………………………………（6分）

（2）连结，由（1）知，又，所以平面，…（2分）

所以，所以为所求二面角的平面角。      ………………………（4分）

因为△是等腰直角三角形，所以。       ………………………（7分）

所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为

（1）由已知有，； 时，

所以，即是以2为首项，公差为2 的等差数列。

（2）由（1）得：，

当时，。

当时，，所以

（3）当时，，成立。

当时，

＝

综上有。

（1）因圆的面积为,圆锥的侧面积就是扇形的面积,且两扇形面积比为,故其面积分别为与，即，，（4分）

（2）较小圆锥的底面半径为，较大圆锥的底面半径为，

由，得；同理，                   （8分）

∴，同理，      （10分）

∴，                                         （12分）

（1）证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点，

∴   …………………………1分

,,

∴⊥平面 ………………………2分

平面

∴，即 …………………3分

又

∴平面      …………………………………4分

（2）当是棱的中点时，//平面.……………………………5分

证明如下:

连结,取的中点H，连接,

则为的中位线

∴∥，…………………6分

∵由已知条件，为正方形

∴∥，

∵为的中点，

∴                                       ……………………7分

∴∥，且

∴四边形为平行四边形

∴∥

又  ∵            ……………………8分

∴//平面                                    ……………………9分

（3）∵ 直三棱柱且

依题意，如图：以为原点建立空间直角坐标系，……………………10分

,,,,

则，

设平面的法向量，

则,即，

令，有                             ……………………12分

又平面的法向量为，

==，                    ……………………13分

设二面角的平面角为，且为锐角

。                       ……………………14分

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴

∵，∥∴

∵∴

∵∴

∵∴平面     ……………5分

（2）以为原点，建立如]图所示的空间直角坐标系，设，则，故

，，，，

∴直线的方向向量为，直线的方向向量为

设直线与所成的角为，则        ………10分

（3）直线的方向向量为，，

设平面的法向量为，则

，故，，

设直线与平面所成的角为，则…………14分

（1）

（2）故f（x）在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b且f（a）=f（b）得0<a<1<b和

（3）由函数的图象可知，当时，方程有两个不相等的正根。