热门试卷

解析：依题意知：，设点的坐标为，则：

，所以，点的坐标为

（4分）

（1）

（6分）

由可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为（8分）

（2）由三点共线的（10分）

，

（12分）

解析：（1）由题意知随机变量ξ的取值为2，3，4，5，6.

,,

 , ，

所以随机变量ξ的分布列为

（2）随机变量ξ的期望为

解析：（1）   --- 1分

由的判别式

①当即时，恒成立，则在单调递增   ……2分

②当时，在恒成立，则在单调递增     ……3分

③当时，方程的两正根为

则在单调递增，单调递减，单调递增

综上，当时，只有单调递增区间

当时，单调递增区间为，

单调递减区间为 …… 5分

（2）即时，恒成立

当时，在单调递增  ∴当时，满足条件 …7分

当时，在单调递减

则在单调递减

此时不满足条件

故实数的取值范围为                                       …… 9分

（3）由（2）知，在恒成立

令 则      ……  10分

∴                 …… 11分

又

∴                         ……13分

∴                                          …… 14分

（1）F（x）＝－lnx－＋1，则F′(x)＝

当x∈（0，1）时F′（x）＞0，x∈（1，＋∞）时F′（x）＜0

∴F（x）在（0，1）递增，在（1，＋∞）递减，

F（x）max＝F（0）＝0；∴当 时，f (x)≤g(x) 恒成立， 即  时 lnx≥1－恒成立。∴f (x2) －f (x1)＝ln ≥1－＝－（x2－x1）＝f′(x1)（x2－x1）

（2）证明：设λ1＞0，λ2＞0且λ1＋λ2＝1　　　　　令x3＝λ1 x1＋λ2 x2，则 且

x1－x3＝λ2（x1－x2）　　x2－x3＝λ1（x2－x1）

由（1）知f (x1) －f (x3) ≥f′(x3)( x1－x3) ＝λ2 f′(x3)( x1－x2) ………①

f (x2) －f (x3) ≥f′(x3)( x2－x3) ＝λ1 f′(x3)( x2－x1)  ………②

①×λ1＋②×λ2，得

λ1 f (x1) ＋λ2 f (x2) －（λ1＋λ2）f (x3) ≥λ1λ2 f′(x3) ( x1－x2)＋λ1λ2 f′(x3)( x2－x1)＝0

∴λ1 f (x1) ＋λ2 f (x2) ≥（λ1＋λ2）f (x3) ＝f (x3) ＝f（λ1 x1＋λ2 x2）…………8分

猜想：λi＞0，xi＞0（i＝1，2，…n）且λ1＋λ2＋ λn＝1时有

λ1 f (x1) ＋λ2 f (x2) ＋…＋λn f (xn) ≥f（λ1 x1＋λ2 x2＋…＋λn xn）…………9分

（3）证明：令λi＝

则有λ1＋λ2＋…＋λn＝1           由猜 想结论得：

＋＋…＋

≥－ln（＋＋…＋）

＝－ln＝ln

∴a1lna1＋a2lna2＋…＋anlnan≥(a1＋a2＋…＋an) ln

即≥     …………14分

法2：令 ，可证明得： ，

即 对任意 恒成立。分别令 可得：

a1lna1＋a2lna2＋…＋anlnan≥ 。再令     可得证

（1）

=

=

的周期

（2）要使函数为偶函数，只需  

即

因为，

所以

解析：（1）设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：

当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③恒成立.

（2）①对于函数模型：

当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则.

所以f(x)≤9恒成立.

因为函数在[10，1000]上是减函数，所以.

从而，即不恒成立。

故该函数模型不符合公司要求.

②对于函数模型f(x)＝4lgx－3：

当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则.

所以f(x)≤9恒成立.

设g(x)＝4lgx－3－，则.

当x≥10时，，所以g(x)在[10，1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0.所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立.故该函数模型符合公司要求。

（1）

=xn﹣1（x﹣1）n，

f'（x）=（n﹣1）xn﹣2（x﹣1）n+xn﹣1•n（x﹣1）n﹣1=xn﹣2（x﹣1）n﹣1[（n﹣1）（x﹣1）+nx]，

令f'（x）=0得，

因为n≥2，所以x1＜x2＜x3

当n为偶数时f（x）的增减性如下表：

所以当时，；当x=1时，y极小=0.

当n为奇数时f（x）的增减性如下表：

所以x=0时，y极大=0；当时，

（2）假设存在等差数列{an}使成立，

由组合数的性质，

把等式变为，

两式相加，因为{an}是等差数列，所以a1+an+1=a2+an=a3+an﹣1=…=an+1+a1，

故，

所以a1+an+1=n， 

再分别令n=1，n=2，得a1+a2=1且a1+a3=2，

进一步可得满足题设的等差数列{an}的通项公式为

解：（1），则，，又，

…………2分

（2）令，则

，…3分

令，得，且，

当为正偶数时，随的变化，与的变化如下：

所以当时，极大=；当时，极小=0，…………7分

当为正奇数时，随的变化，与的变化如下：

所以当时，极大=；无极小值，…………10分

（3）由（1）知，，即，

所以方程为，…………11分

，…………12分

又，而对于，有（利用二项式定理可证），

。…………13分

综上，对于任意给定的正整数，方程只有唯一实根，且总在区间内，所以原方程在区间上有唯一实根，…………14分