热门试卷

解析：易知的定义域为，且为偶函数。

（1）时, ………………………2分

时最小值为2.      ………………………4分

（2）时,

时，  递增；    时，递减； ………………………6分

为偶函数.所以只对时，说明递增.

设，所以，得

所以时，  递增；  ……………………………………………10分

（3），，

从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，

恒有.     ……………………………………………………………11分

①当时，在上单调递增，

由得，

从而；  …………………………………………………………………12分

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

，

由得，从而；……………………13分

③当时，在上单调递减，在上单调递增，

，

由得，从而；  …………………14分

④当时，在上单调递减，

由得，从而；……………………………………………15分

综上，. …………………………………………………………………16分

解析：（1）设，是上的任意两个数，则

。函数在上是 “凸函数”，……4分

（2）对于上的任意两个数，，均有成立，即，整理得

………………7分

若，可以取任意值。

若，得，，。

综上所述得，………………10分

（3）①当时由已知得成立。

假设当时，不等式成立即成立。

那么，由，

得

。

即时，不等式也成立，根据数学归纳法原理不等式得证，……………………15分

②比如证明不等式成立，由①知，，，，

有成立。

，，，，

，

从而得，………………18分

解析：（1）由题意：当时，；        …………………………2分

当时，设，显然在是减函数，

由已知得，解得                   …………………………4分

故函数=           …………………………6分

（2）依题意并由（1）可得   ………8分

当时，为增函数，故；      …………10分

当时，，

。                             …………………………12分

所以，当时，的最大值为。

当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米。

…………………………14分

解析：（1），令，得，

所以。

（2）证明：因为 ，。所以。所以在内存在零点。

，所以在内单调递增，所以在内存在唯一零点。

（3）当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.

对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.

据此分类讨论如下：

①当，即|b|＞2时，M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾。

②当－1≤＜0，即0＜b≤2时，M＝f2(1)－f2()＝(＋1)2≤4恒成立。

③当0≤≤1，即－2≤b≤0时，M＝f2(－1)－f2()＝(－1)2≤4恒成立。

综上可知，－2≤b≤2.

注：②，③也可合并证明如下：

用max{a，b}表示a，b中的较大者。

当－1≤≤1，即－2≤b≤2时，M＝max{f2(1)，f2(－1)}－f2()

＝

＝1＋c＋|b|－(＋c)

＝(1＋)2≤4恒成立。

解析：(1)当时，，

所以

所以，点B的坐标是（0，1）  ……………………………………………………2分

又秒时，  ………………………………………………………4分

. …………………………………………………………6分

（2）由，，得，

又，

，…………………………8分

………………………………10分

，， …………12分

所以，的取值范围是          ………………………………14分

（1）当时，

令，得，得

当时，

当

∴当时，函数有最小值，

（2）解法一：

函数的零点，即方程的实根，

将方程化为，显然

当时，方程为

解得或，但

即当时，函数有一个零点；

当时，由（1）知

，令

则

令，则，由，得

当时，，当时，

∴当时，函数有最小值，

即对，都有

∵当时，

当时，

∴函数在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，

∴当时，函数有最小值，

∴当，方程有唯一实根，即函数有一个零点；

当时，方程有两个实根，即函数有两个零点：

当时，方程有一个实根，即函数有一个零点；

当时，方程没有实根，即函数没有零点；

综上得：当时，函数没有零点：

当时，函数有两个零点；

当或时，函数有一个零点。

解法二：

当时，由，解得或，但

当时，函数在(0，1)单调递减，在（1,+∞）单调递增，

，且当时，时，

∴若，函数有2个零点，若，函数有1个零点，

若，函数无零点

当时，由，得或

∴当时,函数在单调递增,在单调递减，在(1，+∞)单调递增，

当时，函数在(0，1)单调递增，在单调递减，在单调递增，

当时，函数在(0，+∞)单调递增，又

令

∴函数在(0，2)单调递增，在(2，+∞)单调递减，

,从而

∴当时，函数有1个零点，

综上得：当时，函数没有零点；

当时，函数有两个零点;

当或时，函数有一个零点。

（3）由（1）知对，有，即

即 

（1）当时，。

图像如图（2分）

基本性质：（每个2分）

奇偶性：既非奇函数又非偶函数；

单调性：在和上分别递增；

零点：；

最值：无最大、小值，（6分）

（2），

当，时，数列单调递增，且此时均大于，

当，时，数列单调递增，且此时均小于，（8分）

因此，数列中的最大项为，（10分）

最小项为，（12分）

（3）由题意，在中无实数解，

亦即当时，方程无实数解，（14分）

由于不是方程的解，（16分）

因此对任意，使方程无实数解，则为所求，（18分）

解析：          2分（1+1）

                     4分

                                       5分

（1）函数的最小正周期                         7分

（2）当时，                   9分

当时，

                        11分

当时，

                            13分

得函数在上的解析式为

（1）

由已知有：

从而

令得：

当变化时，的变化情况如下表：

从上表可知：在上是减函数；

在上是增函数，

（2），由(1)知：

①当时，在闭区间上是增函数。

，且

，且

解得

又

故此时的不存在

②当时，，则最大值为

将代入，得

又的最小值为

③当时，在闭区间上是减函数，

又时，其最小值不可能为0

∴此时的也不存在，

综上所述

（1）证明：设，所以

当时，，当时，，当时，。

即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，

因为，所以对任意实数均有 。

即，所以，

（2）解：当时，，

用数学归纳法证明如下：

①当时，由（1）知。

②假设当（）时，对任意均有

令，，

因为对任意的正实数，，

由归纳假设知，，

即在上为增函数，亦即，

因为，所以。

从而对任意，有。

即对任意，有。

这就是说，当时，对任意，也有。

由①、②知，当时，都有，

（3）先证对任意正整数，。

由（2）知，当时，对任意正整数，都有。

令，得，所以，

再证对任意正整数，

。

要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立。

即要证明对任意正整数，不等式（*）成立，

①当时，成立，所以不等式（*）成立。

②假设当（）时，不等式（*）成立，

即，

则。

因为，

所以，

这说明当时，不等式（*）也成立。

由①、②知，对任意正整数，不等式（*）都成立。

综上可知，对任意正整数，不等式成立。