- 平行向量与共线向量
- 共100题
如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min,在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=
.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
正确答案
(1) 1 040(m) ;(2) (min); (3)
解析
(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=
,所以sin A=
,sin C=
.
从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.
由正弦定理,得
=1 040(m)。
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离A处130t m,
所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),
因0≤t≤,即0≤t≤8,故当
(min)时,甲、乙两游客距离最短。
(3)由正弦定理,得BC=
=500(m)。
乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min,由题意得,解得
,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在
(单位:m/min)范围内。
知识点
已知,其中
是实数,
是虚数单位,则
的共轭复数为 ( )
正确答案
解析
略。
知识点
如图,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆+
=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限.过P作x轴的垂线,垂足为C.连结AC,并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.
(1)若直线PA平分线段MN,求k的值;
(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意的k>0,求证:PA⊥PB.
正确答案
见解析
解析
(1)由题设知,a=2,b=,故M(-2,0),N(0,-
),所以线段MN中点的坐标为
.由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,所以k=
=
.
(2)直线PA的方程为y=2x,代入椭圆方程得+
=1,解得x=±
,因此P
,A
.
于是C,直线AC的斜率为
=1,故直线AB的方程为x-y-
=0.
因此,.
(3)解法一:将直线PA的方程y=kx代入+
=1,解得x=±
.记μ=
,则P(μ,μk),A(-μ,-μk).于是C(μ,0)。
故直线AB的斜率为,其方程为y=
(x-μ),代入椭圆方程得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0,
解得或x=-μ.因此
.
于是直线PB的斜率
因此k1k=-1,所以PA⊥PB.
解法二:设P(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2.因为C在直线AB上,所以从而k1k+1=2k1k2+1=2
因此k1k=-1,所以PA⊥PB.
知识点
已知函数满足:
,
,则
=_____________.
正确答案
解析
取x=1 y=0得
法一:通过计算,寻得周期为6
法二:取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故=f(0)=
知识点
已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点。
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点。
正确答案
(1) (α为参数,0<α<2π); (2) 当α=π时,d=0,M的轨迹过坐标原点
解析
(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α)。
M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π)。
(2)M点到坐标原点的距离
(0<α<2π)。
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点。
知识点
若集合,
,则集合
正确答案
解析
。
知识点
已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=-2,若同时满足条件:
①x∈R,f(x) <0或g(x) <0
②x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) <0
则m的取值范围是
正确答案
解析
根据,可解得
。由于题目中第一个条件的限制
,
或
成立的限制,导致
在
时必须是
的。当
时,
不能做到
在
时
,所以舍掉。因此,
作为二次函数开口只能向下,故
,且此时两个根为
,
。为保证此条件成立,需要
,和大前提
取交集结果为
;又由于条件2:要求
,
0的限制,可分析得出在
时,
恒负,因此就需要在这个范围内
有得正数的可能,即
应该比
两根中小的那个大,当
时,
,解得,交集为空,舍。当
时,两个根同为
,舍。当
时,
,解得
,综上所述
。
知识点
设集合,
,则
的子集的个数是
正确答案
解析
画出椭圆和指数函数
图象,可知其有两个不同交点,记为A1、A2,则
的子集应为
共四种,故选A.
知识点
设,下列向量中,与向量Q=(1,-1)一定不平行的向量是 ( )
正确答案
解析
略。
知识点
设变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为
正确答案
解析
略
知识点
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