函数与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

17．函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1,-11）

（1）求a、b的值；

（2）方程f（x）=c有三个不同的实数解，求c的取值范围。

正确答案

解析

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知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义导数的运算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．如图放置的等腰直角三角形ABC薄片（∠ACB＝，AC＝2）沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的轨迹方程是y＝，则在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为（）

正确答案

2+4

解析

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知识点

函数零点的判断和求解定义法求轨迹方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．已知函数，恰有两个零点，则的取值范围是___________。

正确答案

解析

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知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知函数．

（Ⅰ）若，是单调增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）若，求方程在上解的个数。

正确答案

解：（Ⅰ）

①当时，，．

得恒成立，即恒成立，∴．

②当时，，．

得恒成立，即恒成立，∴b≥－2．

综合①，②得b的取值范围是

（Ⅱ）令，即

当时，，．

∵，∴．．

∴在（0，）上是递增函数．

当时，，．

∴在（，＋∞）上是递增函数．

又因为函数在有意义，

∴在（0，＋∞）上是递增函数

∵，而，∴，

则．∵a≥2，∴ ，

当a≥3时，≥0

∴g(x)＝0在上有惟一解．

当时，<0

∴g(x)＝0在上无解．

解析

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知识点

函数单调性的性质函数零点的判断和求解

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.设，若函数存在整数零点，则的取值集合为（）

正确答案

解析

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知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3．函数在定义域内的零点的个数为（）

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

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知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.函数f(x)= 的零点个数为（　　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

D

解析

当x≤0时,

令=0⇒x=-1或x=-2;

当x>0时,令

4-x+ln x=0⇒ln x=x-4,

通过图象可知有两个交点,此时也有两个根.

所以已知函数有4个零点.

知识点

二次函数的图象和性质对数函数的图像与性质函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,并满足f(x-4)=-f(x)且在[0,2]上是增函数,给出下列结论:

(1)若0<x1<x2<4,且x1+x2=4,则f(x1)+f(x2)>0;

(2)若0<x1<x2<4,且x1+x2=5,则f(x1)>f(x2);

(3)若方程f(x)=m在[-8,8]内恰有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则其中结论正确的有（　　　）

A0个

B1个

C2个

D3 个

正确答案

D

解析

∵f(x-4)=-f(x),

∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x),

∴f(x)的周期为8.

∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,

∴f(x)关于原点对称.

∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-4)=f(-x),

∴f(x)关于x=-2对称.

由f(x)关于原点对称,

∴f(x)也关于x=2对称.

由f(x)在[0,2]上是增函数,且f(0)=f(4)=0,则可以画出草图为

（１）若0<x1<x2<4,且x1+x2=4,则可得到x1,x2关于x=2对称,

由图可知f(x1)>0,f(x2)>0,

所以f(x1)+f(x2)>0,故(1)正确.

（２）若0<x1<x2<4,且x1+x2=5,则可得x2到x=2的距离比x1到x=2的距离要远,

由图象可得f(x1)>f(x2),故(2)正确.

（３）如图所示,若m>0,则两个根关于x=-6对称,两个根关于x=2对称,

所以有x1+x2+x3+x4=-8.若m<0,

则两个根关于x=-2对称,

两个根关于x=6对称,所以有x1+x2+x3+x4=8,

故(3)也正确.

本题答案为D.

知识点

函数单调性的性质函数奇偶性的性质抽象函数及其应用函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.设方程x4+ax-4=0的各实根为x1,x2,…,xk（k≤4）.若点（xi,）（i=1,2,…,k）均在直线y=x的异侧,则实数a的取值范围是（　　）.

A（-6,6）

B[-6,6]

C（-4,4）

D[-4,4]

正确答案

A

解析

因为x4+ax-4=0,所以x≠0,所以x3+a=,

由y=x,y=,得交点坐标(2,2)和(-2,-2),

考虑极限位置, 当y=x3+a过点(2,2)时,a=-6;

当y=x3+a过点(-2,-2)时,a=6,

所以若点(xi,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的异侧,则实数a的取值范围是(-6,6)

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,并满足f(x-4)=-f(x)且在[0,2]上是增函数,给出下列结论:

(1)若0<x1<x2<4,且x1+x2=4,则f(x1)+f(x2)>0;

(2)若0<x1<x2<4,且x1+x2=5,则f(x1)>f(x2);

(3)若方程f(x)=m在[-8,8]内恰有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则其中结论正确的有（　　　）

A0个

B1个

C2个

D3 个

正确答案

D

解析

∵f(x-4)=-f(x),

∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x),

∴f(x)的周期为8.

∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,

∴f(x)关于原点对称.

∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-4)=f(-x),

∴f(x)关于x=-2对称.

由f(x)关于原点对称,

∴f(x)也关于x=2对称.

由f(x)在[0,2]上是增函数,且f(0)=f(4)=0,则可以画出草图为

（１）若0<x1<x2<4,且x1+x2=4,则可得到x1,x2关于x=2对称,

由图可知f(x1)>0,f(x2)>0,

所以f(x1)+f(x2)>0,故(1)正确.

（２）若0<x1<x2<4,且x1+x2=5,则可得x2到x=2的距离比x1到x=2的距离要远,

由图象可得f(x1)>f(x2),故(2)正确.

（３）如图所示,若m>0,则两个根关于x=-6对称,两个根关于x=2对称,

所以有x1+x2+x3+x4=-8.若m<0,

则两个根关于x=-2对称,

两个根关于x=6对称,所以有x1+x2+x3+x4=8,

故(3)也正确.

本题答案为D.

知识点

函数单调性的性质函数奇偶性的性质函数的周期性函数零点的判断和求解

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