函数与方程_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

1.方程的根的个数是(　　).

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

因为2sin θ>0,

所以cos θ>0,

令sin θ=x,-1≤x≤1,则问题转化为方程的根的个数问题,

记

则问题又转化为两条曲线在x∈[-1,1]内交点个数的问题.

在同一坐标系中画出它们的图象,

如图所示

故选B.

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

7.方程()x-sin x=0在x∈[0,2π]内解的个数为　　　　.

正确答案

2

解析

　如图,方程在x∈[0,2π]内解的个数可以转化为函数与y=sin x在x∈[0,2π]内交点的个数

.根据图象可得交点个数为2,

即解的个数为2.

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

1.已知函数f(x)=sin(2ωx+)(ω>0)的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数f(x)的图象向右平移个单位后,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到g(x)的图象,若g(x)+k=0在x∈[0,]有且只有一个实数根,则k的取值范围是(　　).

A(-∞,]

B[-1,-)

C(-,]

D(-,]∪{-1}

正确答案

D

解析

因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为,结合三角函数的图象可知=.

又T==,所以ω=2,f(x)=sin(4x+).

将f(x)的图象向右平移个单位得到

f(x)=sin[4(x-)+]=sin(4x-)的图象,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到g(x)=sin(2x-)的图象.

令2x-=t,因为x∈[0,],所以t∈[-,].

若g(x)+k=0在x∈[0,]有且只有一个实数根,

即y=sin t与y=-k在[-,]有且只有一个交点.

如图所示,由正弦函数的图象可知-≤-k<或-k=1,即-<k≤或k=-1

知识点

函数零点的判断和求解正弦函数的对称性函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=2a|x-1|-a(a>0),若函数y=f[f(x)]恰有10个零点,则a的取值范围为(　　).

A(0,)

B(,)

C(0,]

D[,+∞)

正确答案

B

解析

作出函数f(x)的图象,如图所示,因为当f(x)=0时,x=-,-,或.又因为函数y=f[f(x)]恰有10个零点,f(x)=-,f(x)=-,f(x)=,f(x)=共有10个根,所以<a<.

知识点

函数奇偶性的性质函数零点的判断和求解

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为______.

正确答案

(0,1)

解析

设y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|,在同一直角坐标系中作出y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图象,如图所示.

由图可知f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根等价于y1=|x2+3x|与y2=a|x-1|的图象有4个不同的交点,且4个交点的横坐标都小于1,

所以在x∈(-3,0)内有两组不同解,

消去y,得x2+(3-a)x+a=0在x∈(-3,0)内有两个不同实根,

所以Δ=(3-a)2-4a>0,即a2-10a+9>0,

解得a<1或a>9(舍去).

又由图象得a>0,所以0<a<1.

知识点

二次函数的图象和性质函数零点的判断和求解

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

9.已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有　　　　个.

正确答案

10

解析

在同一坐标系中作出函数的图象如图,

由图象可知,两个函数的图象的交点共有10个.

知识点

函数的周期性二次函数的图象和性质对数函数的图像与性质函数零点的判断和求解

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

7.设函数若f(-4)=f(0),且f(x)的最小值为-2,则方程f(x)=x根的个数为　　　　.

正确答案

3

解析

由f(-4)=f(0),

得16-4b+c=c,且由对称性可知,

f(x)在x=-2处取得最小值,

即f(-2)=-2,得4-2b+c=-2.

联立方程解得b=4,c=2,

所以

在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)与函数y=x的图象,知它们有3个交点,

即f(x)=x有3个根.

知识点

二次函数的图象和性质函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.设定义域为R的函数f(x)= 若关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有3个不同的实数解x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则下列说法中错误的是(　　).

A

B1+a+b=0

Cx1+x3=4

D

正确答案

D

解析

作出f(x)的图象(图略),

图象关于x=2对称,且当x=2时,

f(x)=1,故f(x)=1有三个不同实数根x,

除此之外,f(x)只有两个根或无根.

又f2(x)+af(x)+b=0有三个不同的实数

解x1<x2<x3,x2=2,

而x1+x3=2x2=4.又当x≠2时,

解得x1=1,x3=3,

故A,B,C正确.

知识点

函数的图象函数零点的判断和求解

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

8.已知函数若存在x1,x2,当0≤x1<x2<2时,f(x1)=f(x2),则x1f(x2)的取值范围是　　　　.

正确答案

解析

作出函数f(x)的图象如图,由图象可知,当时,

f(x1)=f(x2),

即

所以

令

由二次函数图象可知函数递增,

所以

即为x1f(x2)的取值范围.

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.定义在R上的函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-mf(x)+m-1=0(其中m>2)有n个不同的实数根x1,x2,…,xn,则f(xi)的值为(　　).

A

B

C

D

正确答案

B

解析

方程f2(x)-mf(x)+m-1=0的解是f(x)=1或f(x)=m-1>1.在坐标系中画出函数f(x)的图象,以及直线y=1,y=m-1(如图所示).由图象可知函数f(x)的图象与直线y=1,y=m-1有五个不同的公共点,即方程f2(x)-mf(x)+m-1=0有五个不同的实根.设x1<x2<x3<x4<x5,则x1+x5=x2+x4=4,x3=2,所以f(xi)=10,所以f(xi)=f(10)=.

知识点

奇偶函数图象的对称性函数的图象函数零点的判断和求解

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