热门试卷

【方法一】

（1）证明：由俯视图可得，，

所以 。          ………………1分

又因为 平面，

所以 ，          ………………3分

所以 平面。                                          ………………4分

（2）证明：取上一点，使，连结，。        ………………5分

由左视图知 ，所以 ∥，。      ………………6分

在△中，易得，所以 ，又 ， 所以， 。

又因为 ∥，，所以 ∥，。

所以四边形为平行四边形，所以 ∥。                ………………8分

因为 平面，平面，

所以 直线∥平面。                                      ………………9分

（3）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为，证明如下：………10分

因为 平面，，建立如图所示的空间直角坐标系。

所以 。

设 ，其中。                                    ………………11分

所以，。

要使与所成角的余弦值为，则有 ，   ………………12分

所以 ，解得 或，均适合。  ………………13分

故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为。                                                        ………………14分

【方法二】

（1）证明：因为平面，，建立如图所示

的空间直角坐标系。

在△中，易得，所以 ，

因为 ， 所以， 。

由俯视图和左视图可得：

。

所以 ，。

因为 ，所以。         ………………2分

又因为 平面，所以 ，                      ………………3分

所以 平面。                                          ………………4分

（2）证明：设平面的法向量为，则有

因为 ，，

所以   取，得。                 ………………6分

因为 ，

所以 。                        ………………8分

因为 平面，

所以 直线∥平面。                                      ………………9分

（3）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为，证明如下：………10分

设 ，其中。                                    ………………11分

所以 ，。

要使与所成角的余弦值为，则有 ，  ………………12分

所以 ，解得或，均适合。   ………………13分

故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为。                                                        ………………14分

（1）

证明：延长交的延长线于点，连接.

∵∥，且，

∴为的中点.

∵为的中点，

∴∥.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角.

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.

∴当时，最大. 此时，.

∴.

∵∥，平面，

∴平面.

∵平面，平面，

∴，.

∴为平面 与平面所成二面角（锐角）.

在Rt△中，，.

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.

解法二：

（1）证明：取的中点，连接、.

∵为的中点，

∴∥，且.

∵∥，且，

∴∥，.

∴四边形是平行四边形。

∴∥.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角.

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.

∴当时，最大. 此时，.

∴.

在Rt△中，.

∵Rt△～Rt△，

∴，即.

∴.

以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，

建立空间直角坐标系.

则，，，.

∴，，.

设平面的法向量为，

由，，

得

令，则.

∴平面的一个法向量为.∵平面，  ∴是平面的一个法向量。

∴.

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.

（1）当.

∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，.

（2）切线的斜率为，

∴ 切线方程为

所求封闭图形面积为

.

（3），

令.

列表如下：

由表可知，.

设，

∴上是增函数，

∴ ，即，

∴不存在实数a，使极大值为3.