热门试卷

解答过程如下：

（1）取中点，连结,则，所以四边形为平行四边形，故，又,所以,

故,又，,所以,

故有

（2）如图建立空间直角坐标系，则

设,易得

设平面的一个法向量为，

则

令，即

又平面的一个法向量为，

，解得，

即，，

而是平面的一个法向量，

设直线与平面所成的角为，则.

故直线与平面所成的角的正弦值为

试题分析：本题属于立体几何中的线面关系的位置关系的问题，难度不大，只要熟悉了线面关系中平行与垂直的判定和性质定理和空间坐标系求二面角的方法，即可完成。

（Ⅰ）由题意得,平面，所以，

因为，平面，

所以平面，

所以．

因为为菱形，所以，分

因为平面，所以平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）讨论可知，三条直线两两垂直．以点为原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系．

各点坐标分别为．

由平面可知，为平面的一个法向量．

设为平面的一个法向量，则

取．

所以．

所以二面角的大小．

试题分析：本题第（1）问属于空间线面垂直关系的判定，是基础知识，难度中等；第（2）问是空间角的问题，可以用向量法进行解答。解答过程如下：

（Ⅰ）因为侧面,

侧面，故,在中,

由余弦定理得：

，

所以，  故,所以,而

，平面．

（2）由（Ⅰ）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为

轴建立空间直角坐标系.

则.

所以,所以,

则，.  设平面的法向量为，

则,，

令，则，是平面的一个法

向量.

平面,是平面的一个法向量，

.

两边平方并化简得，所以或（舍去）．

（Ⅰ）过点作，交于,连接,

因为，所以．

又，，所以．

所以为平行四边形, 所以．

又平面，平面,

所以平面．

（Ⅱ）因为梯形中，，,所以．

因为平面，所以,

如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,

所以．

设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,

因为

所以，即，

取得到,

同理可得,

所以,

因为二面角为锐角，

所以二面角为．

（Ⅲ）假设存在点，设，

所以,

所以，解得,

所以存在点，且

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（Ⅰ）依题意

∴是正三角形，，

   ∵⊥平面，平面，

平面         

平面∴平面平面．  

（Ⅱ）连接，由题可知，又，故  

故以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，故

设面的一个法向量，则，

令，则，，

同理可求出面的一个法向量   

故，而由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

见答案

（1）证明：关键步骤：,则.

（2）由已知可得四棱柱为正方体，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，易求得面的一个法向量为，，则面的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.